向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇天津四中：刘晖一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心） ：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）0OCOBOAO 是ABC的重心 . 证法 1：设),(),,(),,(),,(332211yxCyxByxAyxO0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxO 是ABC 的重心 . 证法 2：如图OCOBOA02ODOAODAO2DOA、、三点共线，且 O分 AD为 2：1 O 是ABC 的重心（2）OAOCOCOBOBOAO 为ABC 的垂心 . 证明：如图所示O 是三角形 ABC 的垂心， BE 垂直 AC ，AD 垂直 BC， D、E 是垂足 . 0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB同理BCOA，ABOCO 为ABC 的垂心（3）设 a , b , c 是三角形的三条边长，O是ABC的内心OOCcOBbOAa0为ABC 的内心 . 证明：bACcAB 、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC , (AObACcAB) ，令cbabcOABCDEOABCDEcbabcAO（bACcAB) 化简得0)(ACcABbOAcba0OCcOBbOAa（4）OCOBOAO 为ABC 的外心。典型例题：例 1： O 是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(ACABOAOP，,0，则点 P 的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示ABC，ED、分别为边ACBC、的中点 . ADACAB2ADOAOP2APOAOPADAP2AP // AD点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心，即选 C . 例 2：（03 全国理 4）O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点 P满足)(ACACABABOAOP，,0，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的（B ）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：ACACABAB 、分别为ACAB、方向上的单位向量，ACACABAB平分BAC , 点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心，即选B . 例 3： O 是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)c osc os(CACACBABABOAOP，,0，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的ABCDE（）A ．外心B．内心C．重心D．垂心分析： 如图所示 AD 垂直 BC，BE 垂直 AC ， D、E 是垂足 . )coscos(CACACBABABBC=CACBCACBABBCABcoscos=CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos=BC + BC =0 点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心，即选D . 练习：1．已知ABC三个顶点CBA、、及平面内...
