圆锥曲线的光学性质第 1 页 共 9 页圆锥曲线光学性质的证明及应用初探一、圆锥曲线的光学性质1．1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； ( 见图 1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在1F 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于2F 处，对2F 处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。证明：由导数可得 切线 l 的斜率02020x xb xkya y，而1PF 的斜率010ykxc，2PF 的斜率020ykxc∴ l 到1PF 所成的角满足2002222220000012222001000200tan11yb xxca ya yb xb cxkkb x ykkabx ya cyxc a y，00,P x y在椭圆上，∴20tanbcy，同理，2PF 到 l 所成的角满足2220tan1kkbkkcy，∴ tantan，而,0,2，∴1．2 双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图 1.2) ．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3 ）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．图 1.3 F2 F1 图 1.2 A F1 F2D O 图 1.1 B 圆锥曲线的光学性质第 2 页 共 9 页要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明2．1 圆锥曲线的切线与法线的定义设直线 l 与曲线 C 交于 P ， Q 两点，当直线 l 连续变动时，P ， Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到 P ，Q 重合为一点 M , 此时直线 l 称为曲线 c 在点 M...
