完整版数列通项公式与求和讲解与习题含答案,推荐文档VIP专享VIP免费

1 数列通项与求和一．求数列通项公式1．定义法（ ①等差数列通项公式； ①等比数列通项公式。）例．等差数列na是递增数列，前n 项和为nS ，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式．答案：35nan2．公式法：已知nS （即12( )naaaf nL）求na ，用作差法：11,(1),(2)nnnanaSSn例．设正整数数列{}na前 n 项和为nS ，满足21 (1)4nnSa，求na答案：21nan3．作商法：已知12( )na aaf nL求na ，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n。如数列}{na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa；答案： 61164．累加法：若1( )nnaaf n 求na ：11221()()()nnnnnaaaaaaaL。例． 已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求 an．答案：242nnna5．累乘法：已知1( )nnaf na求na ，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaaL(2)n例．已知数列na满足321a，nnanna11，求na 。答案：23nan6．已知递推关系求na ，用构造法（构造等差．等比数列） 。（1）形如nfpaann 1只需构造数列nb，消去nf带来的差异．其中nf有多种不同形式①nf为常数，即递推公式为qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0)1((ppq）。解法：转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。1a (2)n2 例．已知数列na中，11a，321nnaa，求na ．答案：123nna①nf为一次多项式，即递推公式为srnpaann 1例．设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na ．答案：16 31nnan① )(nf为 n 的二次式，则可设CBnAnabnn2；（2）递推公式为nnnqpaa1（其中p，q 均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq，其中 p，q， r 均为常数）解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111?引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用类型（ 1）的方法解决。例．已知数列na中，651a，11)21(31nnnaa，求na 。答案：113 ( )2( )23nnna（3）递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为常数）。解法：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s， t 满足qstpts，再应用前面类型（2）的方法求解。例． 已知数列na中，11a，22a，nnnaaa313212，求na 。答案：1731()443nna7． 形如11nnnaakab或11nnnnabaka a-=的递推数列都可以用倒数法求通项。例．1,13111aaaannn答案：132nan8.利用平方法、开平方法构造等差数列3 例 1．数列na的各项均为正数，且满足121nnnaaa，12a，求na 。答案：2(21)nan例 2．已知21( )(2)2f xxx，求：...