1 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆12222byax（ a ＞ b ＞ 0）中，若直线 l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00 yxP是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线 l 的斜率为MNk，则2200abxykMN. 证明：设 M 、N 两点的坐标分别为),(11 yx、),(22 yx，则有)2(.1)1(,1222222221221byaxbyax)2()1(，得.02222122221byyaxx.2212121212abxxyyxxyy又.22,21211212xyxyxxyyxxyykMN.22abxyk MN同理可证，在椭圆12222aybx（ a ＞ b ＞0）中，若直线 l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00 yxP是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线 l 的斜率为MNk，则2200baxykMN. 典题妙解例 1 设椭圆方程为1422yx，过点)1,0(M的直线 l 交椭圆于点A、 B， O 为坐标原点，点P 满足1 ()2OPOAOB ，点 N 的坐标为21,21.当 l 绕点M 旋转时，求：（1）动点 P 的轨迹方程；（2）|| NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点 P 的坐标为),(yx.由平行四边形法则可知：点P 是弦 AB 的中点. 2 焦点在 y 上，.1,422ba假设直线 l 的斜率存在 . 由22baxyk AB得：.41xyxy整理，得：.0422yyx当直线 l 的斜率不存在时，弦AB 的中点 P 为坐标原点)0,0(O，也满足方程。所求的轨迹方程为.0422yyx（2）配方，得：.141)21(16122yx.4141x127)61(341)21()21()21(||222222xxxyxNP当41x时，41||minNP；当61x时，.621||maxNP例 2 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为 k 的直线 l 与椭圆1222yx有两个不同的交点 P 和 Q. （1）求 k 的取值范围；（2）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数 k ，使得向量OQOP与 AB 共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由. 解：（1）直线 l 的方程为.2kxy由.12,222yxkxy得：.0224)12(22kxxk直线 l 与椭圆1222yx有两个不同的交点，3 )12(83222kk＞0.解之得： k ＜22或 k ＞22. k 的取值范围是,2222,. （ 2）在椭圆1222yx中，焦点在 x 轴上，1,2 ba，).1,2(),1,0(),0,2(ABBA设弦 PQ 的中点为),(00 yxM，则).,(100 yxOM由平行四边形法则可知：.2OMOQOPOQOP与 AB 共线，OM 与 AB 共线 . 1200yx，从而.2200xy由2200abxykPQ得：2122k，.22k由（ 1）可知22k时，直线 l 与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数k . 例 3 已知椭圆12222byax（ a ＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心...
