圆与方程基本题型 基本题型 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为222)()(rbyax. 圆心在0y上,故0b. ∴圆的方程为222)(ryax. 又 该圆过)4,1(A、 )2,3(B两点. ∴ 22224)3(1 6)1(rara 解之得:1a,2 02 r. 所以所求圆的方程为2 0)1(22yx. 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点,所以圆心C 必在线段 AB的垂直平分线l 上,又因为13124ABk,故l 的斜率为1 ,又 AB的中点为)3,2(,故AB的垂直平分线l 的方程为:23xy即01 yx. 又知圆心在直线0y上,故圆心坐标为 )0,1(C ∴半径2 04)11(22 ACr. 故所求圆的方程为2 0)1(22yx. 又点 )4,2(P到圆心 )0,1(C的距离为 rPCd2 54)12(22. ∴点P 在圆外. 类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例6 两圆0111221FyExDyxC:与0222222FyExDyxC :相交于A、B 两点,求它们的公共弦AB所在直线的方程. 分析:首先求A 、B 两点的坐标,再用两点式求直线AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧. 解:设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为 ),(00yx,则有: 0101012020FyExDyx ① 0202022020FyExDyx ② ①-②得:0)()(21021021FFyEExDD. A、B 的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD. ∴方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B 两点的直线方程. 又过A、B 两点的直线是唯一的. ∴两圆1C 、2C 的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121FFyEExDD. 2、过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为 解:设直线方程为kxy ,即0 ykx. 圆方程可化为25)1()2(22yx,∴圆心为(2,-1),半径为210.依题意有2101122kk,解得3k或31k,∴直线方程为 xy3或xy31. 类...