1 数学竞赛中的数论问题 罗增儒 引言 数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支． 什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3，…是这样一个集合 N ： （1）有一个最小的数1． （2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数/a ；除 1 之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数． 这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理： （3）对N 的子集 M ，若1M，且当aM时，有后继数/aM，则 MN． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想： 1742 年6 月7 日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4 开始 ，都可以表 示 为 两 个素 数和的形 式 ，任何奇 数，由7 开始 ，都可以表 示 为 三 个素 数的和．后者 是前 者 的推 论，也可独 立 证 明 （已 解决）．“表 示 为 两 个素 数和的形 式 ”就是著 名的哥德巴赫猜想，简称 1+1． 欧拉认为 这是对的，但 证 不 出来 ． 1900 年希 尔 伯 特 将 其 归入 23 个问题中的第 8 个问题． 1966 年陈 景 润 证 得：一个素 数+素 数素 数（1+2），至今 仍 无人超 越 ． ● 陈 景 润 的数学教 师 沈 元 很重视 利 用 名 人、 名 言、 名 事去 激 励 学生，他 曾 多 次 在 开讲 时，说过这样的话 :“自然科 学的皇 后是数学，数学的皇 冠 是数论，哥德巴赫猜想则是皇 冠 上的明 珠 ．……”陈 景 润 就是由此 而 受 到了 启 示 和激 励 ，展 开了 艰 苦 卓 绝 的终 生奋 斗 和灿 烂 辉 煌的奋 斗 终 生，离 摘 取 “皇 冠 上的明 珠 ”仅 一步 之遥 ． ● 数论题涉 及 的知 识不 是很多 ，但 用 不 多 的知 识来 解决问题往往就需 要较 强 的能 力 和精明 多 的技 巧 ，有人说：用 以发 现 数学人才 ，在 初 等 数学中再 也没有比数论教 材 更 好 的课 程了 ．任何学生如能 把 当今 一本数论教 材 中的练 习 做 出，就应 当受 到鼓 励 ，劝 他 （她 ）将 来 去从 事数学方 面的工 作（U．Dudle...
