第八章 傅立叶变换 8 .1 引言 傅立叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪声、显示点等的作用(效应)。把傅立叶变换的理论同其物理解释相结合，将有助于解决大多数图像处理问题。而发展了这两种技能的人一般都是电子工程或是物理光学方面的学生，他们在学习过程中培养了这项技能。对任何想在工作中有效使用数字图像处理的人来说，把时间用在熟悉傅立叶变换上是很值得的。 从某种意义上来说，傅立叶变换就好比描述函数的第二种语言。能讲两种语言的人常常会发现，在表达某些观点时，一种语言会比另一种语言优越。类似地，图像处理的分析者在解决某一问题时会在空域和频域来回切换。 当学习—门新语言时，人们常常用自己的母语思考，讲话之前会在脑子中进行翻译。但是在学得比较流利之后，他就能用两种语言中的任一种语言思考。同样的，研究者一旦熟悉了傅立叶变换，就可以在空域或频域中思考问题，这种能力是非常有用的。 在本章的前一部分，我们先用一维函数导出傅立叶变换的一些性质(为了符号简洁)，然后将结果推广到二维。本书的第二部分采用这种安排：先分析一维函数，然后推广到有两个空间变量的函数——图像。 在我们对线性系统分析的研究中，我们将局限于讨论在这个已发展成熟的领域中的某一部分。例如我们只用傅立叶变换而不用拉普拉斯变换或是 Z 变换，因为没有必要用到这些。这个局限使我们能用最小的数学复杂度来介绍分析数字图像系统所需的技术。 我们不需要具有一般性的拉普拉斯变换，以及线性分析领域内的其它技术，原因之一就是我们处理的是已记录下来的数据，这使我们不必考虑物理可实现性(因果性)及它蕴涵的对分析的影响。 因果性(causality) 用电子硬件实现的线性系统具有因果性，因为是输入导致了输出。特别是，这意味着如果在零时刻之前输人为零，则当t<0 时输出必然为零。直觉上这是很显然的，考虑一个线性系统的脉冲响应：如果在 t=0 时刻输入是一个脉冲，在 t<0 时脉冲响应必然为零。因此对于物理可实现的系统，冲激响应永远是单边的，也就是说它非奇非偶，除了一些微不足道的情况。这种情况将物理可实现系统的线性系统分析大大复杂化了。 处理记录的数据使我们不太受这种限制，用数字实现的卷积既可以很容易地处理奇偶函数，又可以处理t<0 时为0 的函数。再则，对图像处理而言空间域中的坐标原点是任意的x ,y 的负值没有特...
