等差数列与等比数列十大例题VIP专享VIP免费

等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列 na满足：37a ，5726aa， na的前n 项和为nS ． （Ⅰ）求na 及nS ； （Ⅱ）令 bn=211na(nN*)，求数列 nb的前n 项和nT ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列 na的公差为d，因为37a ，5726aa，所以有 112721026adad，解得13,2ad， 所以321)=2n+1nan（；nS =n(n-1)3n+22=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1na ，所以 bn=211na=21=2n+1)1（114 n(n+1)= 111(-)4n n+1， 所以nT = 111111(1-+++-)4223n n+1= 11(1-)=4n+1n4(n+1) ， 即数列 nb的前n 项和nT =n4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设nS 为数列{}na的前n 项和，2nSknn，*nN，其中k 是常数． （I） 求1a 及na ； （II）若对于任意的 *mN，ma ，2ma，4ma成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111kSan， 12)]1()1([,2221kknnnknknSSannnn（ ） 经验，,1n（ ）式成立， 12kknan （Ⅱ）mmmaaa42 ,,成等比数列，mmmaaa422.， 即)18)(12()14(2kkmkkmkkm，整理得：0)1(kmk， 对任意的  Nm成立， 10kk或 例3、 等比数列{na }的前n 项和为ns ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{na }的公比q； （2）求1a －3a ＝3，求ns 解：（Ⅰ）依题意有 )(2)(2111111qaqaaqaaa 由于 01 a，故 022 qq 又0q，从而21－q 5 分 （Ⅱ）由已知可得321211）（aa 故41 a 从而））（（）（））（（nnn211382112114S 10 分 例 4、已知数列 }na满足， *11212,,2nnnaaaaanN’＋2＝＝.   令1nnnbaa，证明：{ }nb是等比数列； (Ⅱ)求 }na的通项公式。 （1）证1211,baa 当2n 时，1111,11()222nnnnnnnnnaabaaaaab   所以 nb是以 1 为首项，12为公比的等比数列。 （2）解由（1）知111(),2nnnnbaa  当2n 时，121321()()()nnnaaaaaaaa2111 1 ()()22n     111 ()2111 ()2n   2211[1 ()]...