等差数列的前n 项和·例题解析 一、等差数列前n 项和公式推导： （1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得 2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以 Sn=[n（a1+an）]/2 （公式一） （2）如果已知等差数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 n，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得 Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二） 二、对于等差数列前n项和公式的应用 【例 1】 等差数列前10项的和为 140，其中，项数为 奇数的各项的和为 125，求其第 6项． 解 依题意，得 10ad = 140aaaaa = 5a20d = 1251135791＋＋＋＋＋＋10 1012() 解得 a1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为 an=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135 ∴a6=－22×6＋135＝3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素 a1、d，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出an而 直接去求，所列方程组化简后可得＋＋ 相减即得＋，a2a9d = 28a4d = 25a5d = 36111 即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提． 【例2】 在两个等差数列2，5，8，„，197与2，7，12，„，197中，求它们相同项的和． 解 由已知，第一个数列的通项为an＝3n－1；第二个数列的通项为bN=5N－3 若am＝bN，则有3n－1＝5N－3 即＝＋ nN213()N 若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)． 又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以 N＝1，4，7，„，40 n=1，6，11，„，66 ∴ 两数列相同项的和为 2＋17＋32＋„＋197=1393 【例3】 选择题：实数a，b，5a，7，3b，„，c组成等差数列，且 a＋b＋5a＋7＋3b＋„＋c＝2500，则a，b，c的值分别为 [ ] A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，3，99 D．1，3，9 解 C2b = a5ab = 3a由题设＋ 又 14＝5a＋3b， ∴ a＝1，b＝3 ∴首项为1，公差为2 又 ＋∴＋ ·∴＝S = nad 2500 = n2 n50n1n nn n()()1212 ∴a50=c=1＋(50－1)·2=99 ∴ a＝1，b＝3，c＝99 【例 4】 在 1和 2之间插入 2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数． 解 依题意 2＝1＋(2n＋2－1)d ① 前半部分的和＝＋＋②后半部分...
