计算方法 A 上机大作业张晓璐硕 4011 班学号： 3114009097 1. 共轭梯度法求解线性方程组算法原理： 由定理 3.4.1 可知系数矩阵 A是对称正定矩阵的线性方程组Ax=b的解与求解二次函数1( )2TTf xx Axb x 极小点具有等价性，所以可以利用共轭梯度法求解1( )2TTf xx Axb x的极小点来达到求解Ax=b的目的。共轭梯度法在形式上具有迭代法的特征，在给定初始值情况下，根据迭代公式：(1)()( )kkkkxxd产生的迭代序列(1)(2)(3)xxx，，，...在无舍入误差假定下，最多经过n 次迭代，就可求得( )f x的最小值，也就是方程Ax=b的解。首先导出最佳步长k 的计算式。假设迭代点()kx和搜索方向()kd已经给定，便可以通过( )( )( )()kkf xd的极小化( )()min( )()kkf xd来求得，根据多元复合函数的求导法则得: ()()( )'( )()kkTkf xdd令'( )0 ，得到 : ( )( )( )( )k Tkkk TkrddAd，其中( )( )kkrbAx然后确定搜索方向( )kd。给定初始向量(0)x后，由于负梯度方向是函数下降最快的方向，故第一次迭代取搜索方向(0)(0)(0)(0)()drf xbAx。令(1)(0)00xxd其中(0)(0)0(0)(0)TTrddAd。第二次迭代时，从(1)x出发的搜索方向不再取(1)r，而是选取(1)(1)(0)0drd，使得(1)d与(0)d是关于矩阵 A 的共轭向量， 由此可求得参数0 : (1)(0)0(0)(0)TTrAddAd然后从(1)x出发，沿(1)d进行搜索得到(2)(1)(1)1xxd设已经求出(1)( )( )kkkkxxd，计算(1)(1)kkrbAx。令(1)(1)( )kkkkdrd，选取k ，使得(1)kd和( )kd是关于 A 的共轭向量，可得: (1)()( )( )kTkkk TkrAddAd具体编程计算过程如下：（1） 给定初始近似向量(0)x以及精度0 ；（2） 计算(0)(0)rbAx，取(0)(0)dr；（3） For k=0 to n-1 do （i ）( )()0( )( )k Tkk TkrddAd；（ii ）(1)()( )kkkkxxd；（iii）(1)(1)kkrbAx；（iv ）若(1)kr或 k=n-1 ，则输出近似解(1)kx，停止；否则，转（ v）；（v）2(1)22( )2kkkrr；（vi ）(1)(1)()kkkkdrd；End do 程序框图：开始输入 , , , (0)x(0)(0)rbAx(0)(0)dr( )( )( )( )k Tkkk TkrddAd(1)( )()kkkkxxd(1)(1)kkrbAx0k1kkAb( ,1)nsize A或(1)kr1knT输出近似解(1)kxF结束2(1)22()2kkkrr(1)(1)( )kkkkdrd程 序 使 用 说 明 ： 本 共 轭 梯 度 法 求 解 线 性 方 程 的 程 序 是 一 个 函 数Gongetidu2(A,b,x0,epsa)，在求解线性方程组Ax=b（A 是对称正定矩阵）的时...
