0404高斯积分法及其应用VIP免费

1 §4 -4 高斯积分法及其应用  由§4-3 知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分： ddf 1111),(； dddf  111111),,( 其中被积分函数 f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。  数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数 f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。  数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。 一、高斯积分法 1 ．一维积分的高斯公式  一维积分的高斯公式 niii fHdf111)()( (4-47) 其中 f(ξi)是被积函数在积分点ξi处的数值，Hi为加数系数，n 为积分点数目。  可以证明，  对于 n 个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。  由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。  例如，  n=1 时 )()(1111fHdfI  (a) 不论 f(ξ)的次数是 0 还是 1，只需取 H１=2，ξ１＝０，上式均是精确成立的。因为 10)(CCf (b) 2 101( )22(0 )IfdCf• (c)  当n=2 时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为 332210)(CCCCf (d) 其精确积分为 2011322)(CCdfI  (e) 数值积分为 )()()()()(323222102313212101221121CCCCHCCCCHfHfHfHIiii  (f) 为了在 C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有 221 HH， 02211HH 32222211HH， 0322311HH 所以，应取 2,2 6 9,3 5 0,5 7 7.03121  0,0 0 0,0 0 0,0 0 0.121 HH  同样，对于不超过五次的多项式，只要取 n=3 1310 .5 7 7 ,3 5 0 , 2 6 9 , 23    0,0 0 0,0 0 0,0 0 0.02  6,5 5 5,5 5 5,5 5 5.09521 HH 9,8 8 8,8 8 8,8 8 8.0983H 3 即可保证得到精确的积分值。  对于n...