几何中的旋转问题VIP专享VIP免费

一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 熟练运用旋转解决平面几何中的问题 平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果． 例 图1 中以△ABC 的边AB、AC 为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE． 求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE． 分析：一般的证法是证明△ABG 与△AEC 全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E 绕点A 逆时针旋转90°为点B，点C 绕点A逆时针旋转90°为点G，从而知线段 EC 绕点A 逆时针旋转90°为线段 BG，故有BG=CE，BG⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。 一、按旋转的角度进行区分 1、90°角旋转 例1 如图2，E、F 分别是边长为1 的正方形ABCD 的BC、CD—上的点，且△CEF 的周长是2．求∠EAF 的大小。 解：将△ABE 绕点A 作逆时针旋转90°，则AB 边与AD 边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF 的周长为2，即 CE+EF+CF=2，又 BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故 CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又 AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 例2（北京东城2010 年上学期期末）如图，P 为正方形ABCD 内一点，若PA=1，PB=2，PC=3 ，求:(1)∠APB 的度数;(2)正方形ABCD 的面积． 分析:三条已知的线段PA、PB、PC 具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP 按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA 旋转后的线段与PC 构成了一个新的三角形． 解:(1)将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转90°得△CBQ． 则△ABP ≌ △CBQ 且PB⊥QB． 于是PB=QB=2a，PQ=22PBQB=22 a． 在△PQC 中， PC2=9a2，PQ2＋QC2=9a2． ∴PC2=PQ2＋QC2． ∴∠PQC=90°． △PBQ是等腰直角三角形， ∴∠BPQ=∠BQP=45°． 故∠APB=∠CQB=90°＋45°=135°． (2) ∠APQ=∠APB＋∠BPQ=135°＋45°=180°， ∴三点A、P、Q 在同一直线上． 在 Rt△AQC 中，AC2=AQ2＋QC2=(a＋22 a)2＋a2=(10＋42 )a2． 故 S正方形ABCD = 12 AC2=(5＋22 )a2． 思考 例2中，如果把△CBP绕点B逆时针方向旋转90°得△ABM，怎样解以上问题?(答: (1)△PBM 是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B 作BN⊥AP，垂足为N．则 PN=BN=2 ...