幾何學發展史簡介吳志揚 · 陳文豪前言本文主要是以通俗的方式, 向讀者介紹 『幾何』 這個領域, 並希望藉此吸引一些有興趣的學生來研究這門學問。 整篇文章所介紹的幾何發展史其實是相當簡略的。 我們的重點不在於對時間與年代做精確的考究, 而是以作者的角度, 介紹影響幾何學發展的重要思想, 以及它們如何演變。 在介紹這些偉大的理論之前, 我們必須先界定一個基本的問題, 即 『什麼是幾何學呢?』什麼是幾何學幾何學是一門研究 『空間』 與 『移動』 的學問。 這裡的 『空間』 指的是正統的 『幾何空間』,包括各種具體或抽象的幾何圖形, 甚至是整個宇宙空間的幾何構造; 而 『移動』 則是這些幾何空間的表現, 例如: 平移、 旋轉、 對稱、 波動等等。 因 此, 幾何學可 說是真實世 界與抽象世 界的舞台 與演員 的演出 。 而數學家Descartes (笛卡兒 , 1596∼ 1650) 曾說: 『人 類心智與生俱來有完美、 空間、 時間和 運動等觀念。』 不論是實際生活上 為了 丈量與計算的需要, 或是對於宇宙空間的好 奇與探索, 亦 或是對於 『美』 的追求, 自從人 類開始 生活在地 球上 , 幾何概念的演進便 未曾停歇。 而幾何學的發展, 也 使 人 類開始 真正認識我們所生存 的宇宙空間。影響幾何學發展的重要思想在孕育出 有如巨大神木之現代幾何學的過程中 , 許多 重要的理論是這棵幾何神木的主要枝幹。 以作者的觀點, 我們將 其由古 至今 , 總括為以下 25個:1. π 的概念的形成。 2. 畢氏定理。 3. 歐基理德幾何原 本及其影響。 4. 柏拉圖的五個正立方體。5. 阿基米德的球體積的推導 。 6. 祖沖之原 理。 7. 笛卡兒 的座標系統。 8. 牛頓、 萊布尼茲的微積分 發明。 9. 高斯的優 美定理、Gauss-Bonnet 定理。 10. 非歐幾何的發展與黎曼的內 在幾何觀。 11. Lagarange 的變分 法及 Laplace 的天 體力 學。 12. 尤拉數與波動方程。 13. Klein’s24幾何學發展史簡介25program。 14. 龐加萊平面及基本群。 15. Hilbert 的幾何基礎。 16. 愛因斯坦的廣義相對論。17. de Rham cohomology、Hodge 理論及 Cartan 的微分形式觀點。 18. 陳省身的特徵類與 Chern-Weil, Chern-Simon 理論。 19. Rauch比較定理。 20. Atiyah-Singer 指標定理。21. 丘成桐教授所代表的幾何分析。 22. Donaldson, Seiberg-Witten 理...
