- 1 - 几何证明中的几种技巧 一．角平分线－－轴对称 １．已知在Δ ABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分BAC，BDAD于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长． CBADE CBADEF 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得Δ ABD≌Δ AFD．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为Δ BCF的中位线．∴11 ()222DEFCACAB． ２．已知在Δ ABC中，108A ，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． DABC DABCE 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得Δ BAD≌Δ BED．由已知可得：18ABDDBE ，108ABED ，36CABC ． ∴72DECEDC ，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． ３．已知在Δ ABC中，100A ，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ． ABCD ABCDEF 分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证Δ ABD≌Δ EBD．∴ＡＤ＝ＥＤ， 100ABED ．由已知可得：40C ，20DBF ．由 ＢＦ＝ＢＤ， ∴80BFD ．由三角形外角性质可得：40CDFC ．∴ＣＦ＝ＤＦ． 100BED，∴80BFDDEF ，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ， - 2 - ∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ． 4．已知在Δ ABC中，ACBC，CEAB，ＡＦ平分CAB，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ ，交ＡＢ于Ｄ．求 证：ＡＣ＝ＡＤ． ACBEFD ACBEFDG 分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ． ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ． 易证Δ AGF≌Δ AEF．∴ＥＦ＝ＦＧ．则易证Δ GFC≌Δ EFD．∴ＧＣ＝ＥＤ． ∴ＡＣ＝ＡＤ． ５．如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是 ABC的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ． （１）求证：1 ()2FGABBCCA （２）若（a)ＢＤ与ＣＥ分别是 ABC的内角平分线（如图（２））； (b)ＢＤ是Δ ABC的内角平分线，ＣＥ是Δ ABC的外角平分线（如图（３））． 则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与Δ ABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． GFABCEDHIFGABCDEIHGFABCDEIH 图（１） 图（２） 图（３） 分析：图（１）中易证Δ ABF≌Δ IBF及Δ ACG≌Δ HCG．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为Δ AIH的中位线．∴1 ()2FGABBCCA． 同理可...
