1 函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性) “定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域,所以必须先考虑函数的定义域,离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性 奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数; ②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇; ③f(-x)÷f(x)=1 是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. (1)若定义域关于原点对称 (2)若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如:3xy 在)1,1[ 上不是奇函数 常用性质: 1. 0)(xf是既奇又偶函数; 2.奇函数若在0x处有定义,则必有 0)0(f; 3.偶函数满足)()()(xfxfxf; 4.奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称; 5. 0)(xf除外的所有函数的奇偶性满足: (1)奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 (2) 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6.任何函数)(xf可 以写 成 一 个 奇函数2)()()(xfxfx和 一 个 偶函数2)()()(xfxfx的和。 2. 单调性 定义:函数定义域为A,区间 ,若对任意且 ① 总有则称在区间M上单调递增 ② 总有则称在区间M上单调递减 应用:(一)常用定义法来证明一个函数的单调性 一般步骤:(1)设值(2)作差(3)变形(4)定号(5)结论 (二) 求函数的单调区间 定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注:常用结论 (1) 奇函数在对称区间上的单调性相同 (2) 偶函数在对称区间上的单调性相反 (3) 复合函数单调性-------同增异减 2 3. 周期性 (1)一般地对于函数,若存在一个不为0的常数T,使得内一切值时总有,那么叫做周期函数,T叫做周期,kT(T的整数倍)也是它的周期 (2)如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数,就把这个最小正数叫最小正周期。 注:常用结论 (1)若)()(bxfaxf,则)(xf是周期函数,ab 是它的一个周期(自己证明) (2)若定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。(自己证明) (推论)若定义在R上的偶函数)(xf的图象关于直线ax )0(a对称,则)(xf是周期函数,a2是它的一...