函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)VIP免费

1 函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性） “定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性 奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1 是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称 （2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3xy 在)1,1[ 上不是奇函数 常用性质： 1． 0)(xf是既奇又偶函数； 2．奇函数若在0x处有定义，则必有 0)0(f； 3．偶函数满足)()()(xfxfxf； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称； 5． 0)(xf除外的所有函数的奇偶性满足： （1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 （2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(xf可 以写 成 一 个 奇函数2)()()(xfxfx和 一 个 偶函数2)()()(xfxfx的和。 2. 单调性 定义：函数定义域为A，区间 ，若对任意且 ① 总有则称在区间M上单调递增 ② 总有则称在区间M上单调递减 应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性 一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二） 求函数的单调区间 定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论 （1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减 2 3. 周期性 （1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kT（T的整数倍）也是它的周期 （2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。 注：常用结论 （1）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab 是它的一个周期（自己证明） （2）若定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。（自己证明） （推论）若定义在R上的偶函数)(xf的图象关于直线ax )0(a对称，则)(xf是周期函数，a2是它的一...