1 / 8 函数的基本性质知识点归纳与题型总结 一、知识归纳 1 ．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x )的定义域内任意一个x ，都有f(－x )＝f(x )，那么函数f(x )就叫做偶函数 关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f(x )的定义域内任意一个x ，都有f(－x )＝－f(x )，那么函数f(x )就叫做奇函数 关于原点对称 2 ．函数的周期性 (1 )周期函数 对于函数f(x )，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x )，那么就称函数f(x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2 )最小正周期 如果在周期函数f(x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x )的最小正周期． 解题提醒： ①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． ②判断函数f(x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f(－x ) 2 / 8 ＝－f(x )或f(－x )＝f(x )，而不能说存在x 0使f(－x 0)＝－f(x 0)或f(－x 0)＝f(x 0)． ③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． 题型一 函数奇偶性的判断 典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x )＝(x ＋1) 1－x1＋x ； (2)f(x )＝ －x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f(x )＝4－x 2x 2； (4)f(x )＝lo ga(x ＋x 2＋1)(a＞0 且a≠1)． 解：(1)因 为 f(x )有 意 义 ， 则 满 足1－ x1＋ x ≥0， 所 以 － 1＜ x ≤1， 所 以 f(x )的 定 义 域 不关于原点对称， 所 以 f(x )为 非奇非偶函数． (2)法一：(定义法) 当 x ＞0 时， f(x )＝－ x 2＋ 2x ＋ 1， － x ＜ 0， f(－ x )＝(－ x )2＋ 2(－ x )－ 1＝x 2－ 2x － 1＝－ f(x )； 当 x ＜ 0 时， f(x )＝x 2＋ 2x － 1， － x ＞0， f(－ x )＝－ (－ x )2＋ 2(－ x )＋ 1＝－ x 2－ 2x ＋ 1＝－ f(x )． 3 / 8 所 以 f(x )为 奇 函 数 ． 法二：(图象法) 作 出 函 数 f(x )的 图 象 ， 由 奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称 的 特 征 知 函 数 f(x )为 奇 函 数 ． (3)因 为 4－ x 2≥0，x 2≠0，所 以 －...
