- 1 - 均值不等式的应用 一.均值不等式 1.(1)若 Rba,,则abba222 (2)若 Rba,,则222baab(当且仅当ba 时取“=”) 2. (1)若*,Rba,则abba2 (2)若*,Rba,则abba2(当且仅当ba 时取“=”) (3)若*,Rba,则22baab (当且仅当ba 时取“=”) 3.若0x ,则12xx (当且仅当1x 时取“=”);若0x ,则12xx (当且仅当1x 时取“=”) ; 若0x ,则11122-2xxxxxx即或 (当且仅当ba 时取“=”) 4.若0ab,则2 abba (当且仅当ba 时取“=”)若0ab ,则22-2abababbababa即或 (当且仅当ba 时取“=”) 5.若 Rba,,则2)2(222baba(当且仅当ba 时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 12x 2 (2)y =x +1x 技巧一:凑项 例 2:已知54x ,求函数14245yxx的最大值. 技巧二:凑系数 例 3. 当时,求(82 )yxx的最大值. 变式:设230 x,求函数)23(4xxy的最大值. 技巧三: 分离 例 4. 求2710 (1)1xxyxx 的值域 . 技巧四:换元 求2710 (1)1xxyxx 的值域 . 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数( )af xxx的单调性。例 5:求函数2254xyx的值域. 练习.1.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1)231,(0)xxyxx (2)12,33yxxx (3)12sin,(0,)sinyxxx - 2 - 2.已知01x ,求函数(1)yxx的最大值.;3.203x,求函数 (2 3 )yxx的最大值. 条件求最值 1.若实数满足 2 ba,则ba33 的最小值是 . 变式:若44lo glo g2xy,求11xy的最小值.并求x ,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 2:已知0,0xy,且191xy ,求x y的最小值。 变式:(1)若 Ryx,且12 yx,求yx11 的...