均值定理专题归纳与训练VIP免费

- 1 - 均值不等式的应用 一．均值不等式 1.（1）若 Rba,，则abba222 (2)若 Rba,，则222baab（当且仅当ba 时取“=”） 2. (1)若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba 时取“=”） (3)若*,Rba，则22baab (当且仅当ba 时取“=”） 3.若0x ，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）;若0x ，则12xx  (当且仅当1x  时取“=”） ; 若0x ，则11122-2xxxxxx即或 (当且仅当ba 时取“=”） 4.若0ab，则2 abba (当且仅当ba 时取“=”）若0ab ，则22-2abababbababa即或 (当且仅当ba 时取“=”） 5.若 Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba 时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域 (1)y ＝3x 2＋ 12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例 2：已知54x ，求函数14245yxx的最大值. 技巧二：凑系数 例 3. 当时，求(82 )yxx的最大值. 变式：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值. 技巧三： 分离 例 4. 求2710 (1)1xxyxx 的值域 . 技巧四：换元 求2710 (1)1xxyxx 的值域 . 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数( )af xxx的单调性。例 5：求函数2254xyx的值域. 练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)xxyxx （2）12,33yxxx (3)12sin,(0,)sinyxxx - 2 - 2．已知01x ，求函数(1)yxx的最大值.；3．203x，求函数 (2 3 )yxx的最大值. 条件求最值 1.若实数满足 2 ba，则ba33 的最小值是 . 变式：若44lo glo g2xy，求11xy的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 2：已知0,0xy，且191xy ，求x y的最小值。 变式：（1）若 Ryx,且12 yx，求yx11 的...