题型1 基本不等式正用a＋b≥2 ab 例1：(1)函数f(x)＝x＋1x(x>0)值域为________；函数f(x)＝x＋1x(x∈R)值域为________； (2)函数f(x)＝x2＋1x2＋1的值域为________． 解析：(1) x >0，x＋1x≥2x·1x＝2，∴f(x)(x >0)值域为[2，＋∞)； 当 x∈R 时，f(x)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x2＋1x2＋1＝(x2＋1)＋1x2＋1－1≥2x2＋1·1x2＋1－1＝1，当且仅当 x＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 4．(2013·镇江期中)若 x>1，则 x＋4x－1的最小值为________． 解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当 x－1＝4x－1，即 x＝3 时等号成立．答案：5 [例1] (1)已知 x＜0，则 f(x)＝2＋4x＋x 的最大值为________． (1) x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－4－x＋－x. －4x＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝4－x，即 x＝－2 时等号成立．∴f(x)＝2－4－x＋－x≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2. 例：当 x＞0 时，则 f(x)＝2xx2＋1的最大值为________． 解析：(1) x＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号． 3．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是________． 解析： x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2 x－13x－1＋2＝2 3＋2.当且仅当 x－1＝3x－1，即 x＝1＋3时，取等号．答案：2 3＋2 10．已知 x＞0，a 为大于 2x 的常数，求 y＝1a－2x－x 的最小值． 解：y＝1a－2x＋a－2x2－a2≥2 12－a2＝2－a2.当且仅当 x＝a－ 22时取等号．故 y＝1a－2x－x 的最小值为2－a2. 题型2 基本不等式反用ab≤a＋b2 例：(1)函数f(x)＝x(1－x)(00, x(1－x)≤x＋1－x22＝14，∴f(x) 值域为0，14 . (2) 00. x(1－2x)＝12×2x(1－2x)≤12·2x＋1－2x22＝18，∴f(x) 值域为0，18 . 答案：(1)0，14 (2)0，18 3．(教材习题改编)已知0
