基本积分方法VIP免费

§ 2 基本积分方法 一、换元积分法 第二类换元积分法第一类换元积分法换元积分法 ◆ 1．第一类换元积分法： 设f(u)，)(x为连续函数，)(x可导，且CuFduuf)()(，则 CxFCuFduufdxxxf )]([)()()(')]([ 常见的凑微分形式： ① )()(1)(baxdbaxfadxbaxf ② )()(1)(baxdbaxfnadxbaxfnnn ③ )()()(xxxxedefdxeef ④ )(ln)(ln1)(lnxdxfdxxxf ⑤)(sin)(sincos)(sinxdxfxdxxf ⑥)(cos)(cossin)(cosxdxfxdxxf ⑦)(tan)(tansec)(tan2xdxfxdxxf ⑧ )(arcsin)(arcsin1)(arcsin2xdxfdxxxf 例 2.1 计算dxxxx)1(arctan22 解 :令tx arctan，tdtdx2sec，则 2cot)1(cscsectansec)1(arctan2222222tttddtttdtttttdxxxx =2cotcot2tdtttt=Ctttt2|sin|lncot2 =Cxxxxx22)(arctan211||lnarctan。 例 2.2 计算下列积分： （1）)1ln(xxee； （2）dxxxcos1cos1 解：（1）)1()1ln()1ln(xxxxedeee )(xuCeeedxeeeeexxxxxxxx)1ln()1(1)1()1()1ln( （2）dxxxxdxxxxdxxx222sincos2sin2)cos1)(cos1()cos1(cos1cos1 Cxxxxxddxx dx sin2cot2sinsin2csc222 ◆ 2．第二类换元积分法： )(t单调、可导且 0)( t，又)()]([ttf有原函数)(tG。则 CxGCtGdtttfdxxf)]([)()(')]([)(1 第二类换元法中常用的变量代换： ① 三角代换：变根式积分  三角有理式积分 注意：辅助三角形可为变量还原提供方便。 ② 倒数代换tx1： 可消去分母中的变量 x 。 ③ 指数代换： 适用被积函数由 a x 或 e x 构成的代数式。 例 2.3 计算积分 解：令dttdxtxtex6,ln66 例 2.4 计算积分21xxdx。 6321xxxeeedxdtttttdttttt)113136(611223原式Cttttarctan3)1ln(23|1|ln3ln62Ceeexxxx636arctan3)1ln(23|1|ln3解：dtttttxxxdxcossincossin12=dtttttttcossinsincoscossin21 Cttt|cossin|ln2121 Cxxx|1|ln21arcsin212 例 2.5 计算积分dxxxx1122 解：令tx1，则 ...