余弦定理课件VIP免费

一、余弦定理1．三角形任何一边的平方等于①________，即a2＝②________，b2＝③________，c2＝④________.2．余弦定理的推论：cosA＝⑤________，cosB＝⑥________，cosC＝⑦________.3．余弦定理与勾股定理(1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2；令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则c2＝a2＋b2.(2)在△ABC中，若a2b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．二、余弦定理的应用利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题：1．已知三边，求⑪________.2．已知两边和它们的夹角，求⑫________和⑬________.友情提示：理解应用余弦定理应注意以下四点：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具；(2)余弦定理是⑭________的推广，勾股定理是⑮________的特例；(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以⑯________；(4)运用余弦定理时，因为已知三边求⑰________，或已知两边及夹角求⑱________，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．答案：①其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍②b2＋c2－2bccosA③c2＋a2－2cacosB④a2＋b2－2abcosC⑤b2＋c2－a22bc⑥c2＋a2－b22ca⑦a2＋b2－c22ab⑧锐⑨直⑩钝⑪各角⑫第三边⑬其他两角⑭勾股定理⑮余弦定理⑯知三求一⑰角⑱另一边在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？在没有学习余弦定理之前，还会解三角形，但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了，不知是用正弦定理还是用余弦定理．这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择，还要依靠经验的积累．根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论.[例1]在△ABC中，如果a︰b︰c＝2︰6︰(3＋1)，求这个三角形的最小角．解析：在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据已知条件判断最小边应为a. a︰b︰c＝2︰6︰(3＋1)，可设a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k>0)，最小角为角A，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝6＋3＋12－423＋1×6＝22，故A＝45°.解析：cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24.由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c＝8－43＝6－22＝6－2.由正弦定理得asinA＝csinC，sinA＝asinCc＝asin15°c＝2×6－246－2＝12， b>a，sinA＝12，∴A＝30°.∴B＝180°－A－C＝135°.[例3]在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确定此三角形的形状．解析：解法1：由a·cosA＝b·cosB以及余弦定理得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，得a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a2＝b2或c2＝a2＋b2，∴a＝b或c2＝a2＋b2.当a＝b时，△ABC为等腰三角形；当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.又 A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．[例4](数学与日常生活)如图，某市三个新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同建一个中心医院O，使得医院到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别为AB＝4.3km，BC＝3.7km，AC＝4.7km，问该医院应建在何处？(精确到0.1km或1°)分析：实际问题的解决，应首先根据题意转化为三角形模型，从而运用正、余弦定理解决，要注意题中给出的已知条件．本题实际上是在△ABC中，求△ABC的外接圆的半径...