巧用极化恒等式秒杀高考向量题 冷世平整理 说 明 ： 由 于 前 几 天 ， 大 家 经 常 提 到 极 化 恒 等 式 ， 本 人 便 收 集 整 理了 一 些 相 关 资 料 ， 相 对 较 系 统 ， 且 加 入 了 群 里 大 家 讨 论 的 部 分 题目 ， 由 于 相 当 一 部 分 内 容 非 原 创 ， 所 以 只 和 大 家 分 享 一 下 自 己 整理 的 好 东 西 而 已 ， 故 不 作 投 稿 使 用 。 高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。 1.极化恒等式 极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4a babab 2 ，有时也可将其写成。 224()(a babab )注：21()()4a babab 2 表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一 种定义) ，是沟通向量内 积 运算和线性运算的重要公式. 若是实数，则恒等式,a b21()()4a babab2 也叫“ 广义平方差” 公式； 极化恒等式的几何意义是: 向量的数量积 可 以 表 示 为以 这组向量为邻边的平行四边形的“ 和对角线” 与“ 差对角线” 平方差的14 ，即222214a bADBCAMBM （如图） 在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214a bAMBMAMBC2 ，它揭示了 三角形的中线与边长 的关系。 此 恒等式的精 妙 之 处 在于建 立起了 向量与几何长 度 (数量)之 间 的桥 梁 ，实现了 向量与几何、代 数的巧妙 结 合 。 2． 极化恒等式的应 用 自 向量引 入 高中数学以后 ，由于它独 特 的性质 (代 数与几何的桥 梁 )，在近 几年 全 国 各 地 的高考中迅 速成为创 新 题命 制 的出发 点，向量试 题有着越 来越 综 合 ，越 来越 灵 活 的趋...
