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布尔代数入门 布尔代数是计算机的基础。没有它,就不会有计算机。 布尔代数发展到今天,已经非常抽象,但是它的核心思想很简单。本文帮助你理解布尔代数,以及为什么它促成了计算机的诞生。 我依据的是《编码的奥妙》的第十章。这是一本好书,强烈推荐。 一、数理逻辑的起源 19 世纪早期,英国数学家乔治·布尔(George Boole,1815-1864)突发奇想:人的思想能不能用数学表达? 此前,数学只用于计算,没有人意识到,数学还能表达人的逻辑思维。 两千年来,哲学书都是用文字写的。比如,最著名的三段论: 所有人都是要死的, 苏格拉底是人, 所以,苏格拉底是要死的。 乔治·布尔认为,这种推理可以用数学表达,也就是说,哲学书完全可以用数学写。这就是数理逻辑的起源。 二、集合论 乔治·布尔发明的工具,叫做"集合论"(Set theory )。他认为,逻辑思维的基础是一个个集合(Set),每一个命题表达的都是集合之间的关系。 比如,所有人类组成一个集合 R,所有会死的东西组成一个集合 D。 所有人都是要死的 集合论的写法就是: R X D = R 集合之间最基本的关系是并集和交集。乘号(X)表示交集,加号(+)表示并集。上面这个式子的意思是,R 与 D 的交集就是R。 同样的,苏格拉底也是一个集合 S,这个集合里面只有苏格拉底一个成员。 苏格拉底是人 // 等同于 S X R = S 上面式子的意思是,苏格拉底与人类的交集,就是苏格拉底。 将第一个式子代入第二个式子,就得到了结论。 S X (R X D) = (S X R) X D = S X D = S 这个式子的意思是,苏格拉底与会死的东西的交集,就是苏格拉底,即苏格拉底也属于会死的东西。 三、集合的运算法则 前面的三段论比较容易,一眼就能看出结论。但是,有些三段轮比较复杂,不容易立即反应过来。 请看下面这两句话。 "鸭嘴兽是卵生的哺乳动物。鸭嘴兽是澳洲的动物。" 你能一眼得到结论吗? 鸭嘴兽 X 卵生 = 鸭嘴兽 鸭嘴兽 x 澳洲 = 鸭嘴兽 将第一个式子代入第二个,就会得到: 鸭嘴兽 X 卵生 x 澳洲 = 鸭嘴兽 // 相当于 卵生 x 澳洲 = 鸭嘴兽 + 其他 因此,结论就是"有的卵生动物是澳洲的动物",或者"有的澳洲的动物是卵生动物"。 还有更不直观的三段论。 "哲学家都是有逻辑头脑的,一个没有逻辑头脑的人总是很顽固。" 请问结论是什么? 这道题会用到新的概念:全集和空集。集合 A 和所有不属于它的元素(记...

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