第四章双自由度体系的振动1VIP免费

1 第四章 双自由度体系的振动 §4-1 双自由度体系的一般振动方程 如某一体系在任一时刻的位形可用二个独立坐标来确定，则该体系就叫做双自由度体系。如图4-1 所示，设体系的两个独立坐标分别为1x 和2x ，它们分别表示质量1m 和2m 离开各自静平衡位置的绝对位移。选择独立坐标的方法不是唯一的，例如也可以选择质量1m 的绝对位移和质量2m 相对于质量1m 的相对位移作为二个独立坐标。 图4-1 双自由度体系模型 由图4-1（b）所示的动平衡隔离体，立即可写出对于1m 和2m 的运动方程为： 0)()()(0)()()(22232312212221112212211111xmxkxcxxkxxctPxmxxkxxcxkxctP （4-1） 整理后，可得 )()()()()()(22321223212221221212212111tPxkkxkxccxcxmtPxkxkkxcxccxm （4-2） 引入矩阵记号     )()()(,)()()(,,00212122211211322221222112113222212221121121tPtPtPtxtxtxkkkkkkkkkkkcccccccccccmmmmmmm （4-3） 式中][m 叫做质量矩阵，为一对称阵； ][c 叫做阻尼矩阵，为一对称阵； ][k 叫做刚度矩阵，为一对称正定或半正定对称矩阵； )}({tx和)}({tP分别叫做位移和外力列向量。 式（4-2）现可写成 )}({)}(]{[)}(]{[)}(]{[tPtxktxctxm （4-4） 由于[ m ]、[c]及[k]不是对角的就是对称的，故有 Tmm][][、Tcc][][、Tkk][][ （4-5） 2 矩阵中的非对角元素起了耦合的作用。如果[ m ]、[c]及[k]均为对角阵时，则方程（4-4）解耦，此时其求解方法与单自由度体系相同。这个结论对一般多自由度体系也同样适用。 §4-2 双自由度体系的无阻尼振动 4-2-1 无阻尼时的运动方程 把式（4-4）中的阻尼项去掉，即令[c]=[0]，即可得无阻尼时的运动方程 )}({}]{[)}(]{[tPxktxm （4-6） 在一般情况下，求解式（4-4）或上式也并不是很容易的，其原因是二个方程不是相互独立。下面我们仅讨论自由振动以及外力为简谐力的特殊情况。 4-2-2 自由振动 令式（4-6）的右侧}0{)({tP，即得自由振动方程式 }0{)}(]{[)}(]{[txktxm （4-7a） 上式也可写成 0212111212111xkxkxmxm 02221...