微分中值定理的证明题VIP专享VIP免费

微分中值定理的证明题1.若( )f x 在[ , ]a b 上连续，在 ( , )a b 上可导，( )( )0f af b，证明：R ，( , )a b 使得：( )( )0ff。证：构造函数( )( )xF xfx e，则( )F x 在[ , ]a b 上连续，在 ( , )a b 内可导，且( )( )0F aF b，由罗尔中值定理知：, )a b（，使( )0F即： [( )( )]0ffe，而0e，故( )( )0ff。2.设,0a b，证明：( , )a b ，使得(1)()baaebeeab 。证：将上等式变形得：1111111111(1)()baeeebaba作辅助函数1( )xf xxe ，则( )f x 在 1 1[,]b a上连续，在1 1(,)b a内可导，由拉格朗日定理得：11( )()1()11ffbafba11 1(,)b a，即11111(1)11baeebaeba11 1(,)b a，即： ae(1)( , )bebeea b( , )a b 。3.设( )f x 在 (0,1) 内有二阶导数，且(1)0f，有2( )( )F xx f x 证明：在 (0,1)内至少存在一点，使得：( )0F。证：显然( )F x 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，又(0)(1)0FF，故由罗尔定理知：0(0,1)x，使得0()0Fx又2( )2( )( )Fxxfxx fx ，故(0)0F， 于是( )Fx 在0[0]x，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x， 使得：( )0F，而0(0,)x(0,1) ，即证4.设函数)(xf在[0,1] 上连续，在 (0,1) 上可导，0)0(f，1)1(f. 证明：(1) 在(0,1) 内存在，使得1)(f． (2) 在(0,1) 内存在两个不同的点，1)()(//ff使得【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令xxfxF1)()(，则 F(x)在[0，1]上连续，且 F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在),1,0(使得0)(F，即1)(f.（II ） 在],0[和]1,[上对 f(x) 分别应用拉格朗日中值定理， 知存在两个不同的点)1,(),,0(，使得0)0()()(fff，1)()1()(fff于是.1111)(1)()()(ffff5.设)(xf在[0 ，2a] 上连续，)2()0(aff，证明在 [0,a] 上存在使得)()(faf. 【分析】)(xf在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到0)()(0)()()()(xfxaffaffaf【证明】令)()()(xfxafxG，],0[ax．)(xG在[0,a]上连续，且)()0()()2()(affafafaG)0()()0(fafG当)0()(faf时，取0 ，即有)()(faf；当)0()(faf时，0)()0(aGG，由根的存在性定理知存在),0(a 使得，0)(G，即)()(faf．6.若)(xf在]1,0[上可导，且当]1,0[x时有1)(0xf，且1...