微分几何陈维桓习题及答案VIP免费

1 / 35 § 6.1 测地曲率1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。证明： 设旋转面方程为{( )cos,( )sin,( )}rf vu f vu g v ，22222( )()(( )( ))()fv dufvgvdv ，222( ),( )( )Efv Gfvgv纬线即 u—曲线 ：0vv （常数），其测地曲率为2'2'21ln1ln22ugEfkvvGfg0'2'2000'()()()()fvf vfvgv为常数。2、证明：在球面S( cos cos , cos sin , sin )rauv auv au ，,0222uv上 ， 曲 线 C 的 测 地 曲 率 可 表 示 成( )( )sin( ( ))gdsdv sku sdsds，其中 ( ( ), ( ))u s v s 是球面 S上曲线 C 的参数方程，s是曲线 C 的弧长参数，( )s 是曲线 C 与球面上经线（即u - 曲2 / 35 线）之间的夹角。证明易求出2Ea , 0F,22cosGau, 因此1ln1lncossin22gdEGkdsvuGE221ln(cos) sin2daudsausinsincosdudsau，而11sinsincosdvdsauG，故singddvkudsds。3、证明：在曲面 S的一般参数系 ( , )u v 下，曲线:( ),( )C uu s vv s 的测地曲率是(( )( )( )( )( )( ))gkg Bu sAv su s v sv s us ，其中 s是曲线 C 的弧长参数，2gEGF ，并且12112111222(( ))2( )( )(( ))Au su s v sv s ，22222111222(( ))2( )( )(( ))Bu su s v sv s特别是，参数曲线的测地曲率分别为2311(( ))ugkgu s ，1322(( ))vgkgv s。证明设曲面 S参数方程为12(,)rr u u ，1122:( ),( )C uu s uus3 / 35 曲面 S上的曲线的参数方程为1122:( ),( )C uu s uu s ， s为 C 的弧长参数；n 为 S上 沿 C 的法向量；曲线12( )(( ),( ))rr sr u s us ，而21( )iiidursrds，21kijijkijkrrb n ，2222,11( )jiiijii jidudud ursrrds dsds，22222, ,1,11jjkiikijkijki j ki jkdudududud urbnrds dsds dsds222221,1,1()jjkkiiijkijki ji jdudud ududurbndsds dsds ds，代入计算( ,, )gkr rn22222211,1,1,(),jjkikiiiijkijiki ji jdududud ududurrbnndsdsds dsds ds222122,1[()jiiji jdududud udsdsds ds4 / 35 22121122,1()]( ,, )jiiji jdududud ur rndsdsds ds，由此得到222122,1[()jigiji jdududud ukgdsdsds ds221212,1()]jiiji jdududud udsdsds ds，以上是测地曲率的一般计算公式。换回参变量12,uu uv ，即可得到结果。4．若曲面 S ：( , )rr u v 上曲线 C :u =...