数学科普：从度量拓扑到拓扑空间在上一讲中我们介绍了距离空间的概念，先回顾一下，什么是距离空间呢？它可以表示为（X，d）。其中X 是一个集合，这样的集合可以是任意的，因为我们可以定义离散距离。而d 就是所谓的距离函数，其定义域是X×X，值域是[0，∞），因而是非负的，此外还具有唯一性、对称性和最小性。它们是从欧氏几何中距离的典型性质中抽象出来的，而一般的方法则可以概括为性质优先。在本讲中，我们要介绍拓扑空间的概念，正如距离可以公理化为抽象的距离空间一样，拓扑空间可以通过对开集的公理化而得到，或许可以称为是开集空间。而对于具体的开集，我将直接在距离空间中加以定义，而不先在R^n 中定义，因为一般的R^n 并不比距离空间多看到多少的直观。当然，R×R 或 C 的情形完全可以作为是一个直观的模型。可以毫不夸张地说，开集是理解拓扑的一张通行证，而它的原型则是开球（比如很多读者熟悉的开区间，就是一维的开球）。为了定义开集，先给出开球的概念，它可以参照 R×R 中的（不带边的）球体（即圆盘）来理解。定义设（X ，d）是一距离空间，x∈X ，r>0，称点集B （x,r）={y∈X且d(y,x)
