结论一：若AB是抛物线22(0)ypx p的焦点弦（过焦点的弦），且11( , )A x y ，22( , )B x y ，则：21 24pxx，212y yp 。结论二： 已知直线 AB 是过抛物线22(0)ypx p焦点 F，求证：112=AFBFp。结论三： （ 1）若AB 是抛物线22(0)ypx p的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α ，则22sinPAB（α ≠ 0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。结论四：两个相切： （1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（ 2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。证明结论二：例：已知直线AB 是过抛物线22(0)ypx p焦点 F，求证：11AFBF为定值。证明：设11(,)A x y，22(,)B xy，由抛物线的定义知：12pAFx，22pBFx，又AF + BF = AB ，所以1x +2x = AB -p ，且由结论一知：2124px x。则：2121 21211()()()2224AFBFABABppppAFBFAF BFxxx xxx =222()424ABppppABp（常数证明：结论四：已知 AB 是抛物线22(0)ypx p的过焦点 F 的弦，求证： （1）以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。(2)分别过 A、B 做准线的垂线，垂足为M 、N，求证：以 MN 为直径的圆与直线AB 相切。证明： (1) 设 AB的中点为 Q,过 A 、Q、B 向准线 l 作垂线，垂足分别为M 、P、 N，连结 AP、BP。由抛物线定义：AMAF ， BNBF ，∴111()()222QPAMBNAFBFAB ，∴以 AB为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（ 1），取 MN中点 P，连结 PF、 MF 、NF，∵ AMAF ， AM ∥OF，∴∠ AMF= ∠AFM ，∠ AMF= ∠MFO ，∴∠ AFM= ∠MFO 。同理，∠ BFN= ∠ NFO，∴∠ MFN= 12（∠ AFM+ ∠MFO+ ∠BFN+ ∠NFO ）=90° ，∴12MPNPFPMN ，∴∠ PFM= ∠FMP∴∠ AFP=∠AFM+ ∠PFM= ∠FMA+ ∠ FMP=∠ PMA=9 0° ，∴ FP⊥AB B A M N Q P y x O F O A M N P y x F B
