抛物线的几个常见结论及其用2 /4抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。结论一：若 AB是抛物线22(0)ypx p的焦点弦（过焦点的弦） ，且11( ,)A x y ，22( ,)B x y ，则：21 24pxx，21 2y yp 。例：已知直线 AB 是过抛物线22(0)ypx p焦点 F，求证：11AFBF 为定值。结论二：（1）若 AB是抛物线22(0)ypx p的焦点弦，且直线 AB的倾斜角为α ，则22sinPAB（α ≠ 0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。例：已知过抛物线29yx 的焦点的弦 AB长为 12，则直线 AB 倾斜角为。AB倾斜角为3或 23。结论三：两个相切： （1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。例：已知 AB 是抛物线22(0)ypx p的过焦点 F 的弦，求证：（1）以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。(2) 分别过 A、B 做准线的垂线，垂足为 M 、N ，求证：以 MN 为直径的圆与直线 AB 相切。B A M N Q P y x O F 3 /4结论四：若抛物线方程为2 2 (0)ypxp，过（ 2 p ，0）的直线与之交于A、B 两点，则 OA⊥OB。反之也成立。结论五： 对于抛物线22(0)xpy p，其参数方程为222xptypt，，设抛物线22xpy 上动点P 坐标为2(22)ptpt，， O 为抛物线的顶点，显然222OPptktpt，即 t 的几何意义为过抛物线顶点 O 的动弦 OP 的斜率．例直线2yx 与抛物线22(0)ypx p相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点， OB 和OA 垂直，且线段AB 长为 5 13 ，求 P 的值．解析：设点A B， 分别为22(22) (22)AABBptptptpt，，，，则112AOAtk，12BOAOBtkk．AB， 的坐标分别为(84 )2pppp，， ，．228(4 )2pABppp∴5135 132p．2p∴．练习：1.过抛物线2(0)yaxa的焦点 F 作一直线交抛物线于PQ，两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是pq， ，则 11pq= 故 114apq】2.设抛物线22(0)ypx p的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于 A B， 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BCx∥ 轴．证明直线 AC 经过原点 O ．【证明：抛物线焦点为02pF， ．设直线 AB的方程为2pxmy，代入抛物线方程，得2220ypmyp．若设1122()()A xyB xy，，，，则212y yp ．BCx ∥ 轴，且点 C 在准线12COpky ；又...
