课时作业 (十三 ) [学业水平层次 ]一、选择题1．已知点 P(6，y)在抛物线 y2＝2px(p>0)上，若点 P 到抛物线焦点 F 的距离等于 8，则焦点 F 到抛物线准线的距离等于()A．2 B．1 C．4 D．8【解析】抛物线 y2＝2px(p>0)的准线为 x＝－p2，因为 P(6，y)为抛物线上的点， 所以点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线的距离，所以 6＋p2＝8，所以 p＝4，即焦点 F 到抛物线的距离等于4，故选 C.【答案】C2．(2014 ·成都高二检测 )抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为 ()A．2 3 B．4 C．6 D．4 3【解析】据题意知，△FPM为等边三角形，| PF| ＝| PM| ＝| FM| ，∴PM⊥抛物线的准线．设P m24 ，m ，则 M(－1，m)，等边三角形边长为 1＋m24 ，又由 F(1,0)，| PM| ＝| FM| ，得 1＋m24 ＝1＋12＋m2，得m＝2 3，∴等边三角形的边长为4，其面积为 4 3，故选 D.【答案】D3．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于 A、B两点，若线段 AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2【 解析】设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，代入抛 物线方程得：y21＝2px1，①y22＝2px2， ②①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．又 y1＋y2＝4，∴y1－y2x1－x2＝2p4 ＝p2＝k＝1，∴p＝2.∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.【答案】B4．(2014 ·课标Ⅱ )设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C于 A，B 两点，则 | AB| ＝()B．6 C．12 D．7 3【解析】焦点 F 的坐标为 34，0 ，直线 AB的斜率为33 ，所以直线 AB的方程为 y＝33 x－34 ，即 y＝33 x－34 ，代入 y2＝3x，得13x2－72x＋ 316＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝212 ，所以 | AB| ＝x1＋x2＋32＝212 ＋32＝12，故选 C.【答案】C二、填空题5．抛物线y2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】设抛物线上点的坐标为 (x，± x)，此点到准线的距离为 x＋14，到顶点的距离为x2＋x2，由题意有 x＋14＝x2＋x2，∴x＝18，∴y＝± 24 ，∴此点坐标为18，± 24 .【答案】18，± 246．(2014 ·临沂高二检测 )直线 y＝kx＋2 与抛物线 y2＝8x 有且只有一个公共点，则 k＝________.【解析】当 k＝0...
