泛函分析与应用第一页，共12页何谓“泛函分析”？根据关肇直先生给出的定义，“泛函分析是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力学、电磁场理论等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具”所谓物理系统（包括社会经济系统）的自由度，是指用于完全描述系统行为的一组无关量的个数。要澄清泛函分析研究对象的特征，需要考察数学诸分支与自然科学之间的联系。泛函分析的研究对象第二页，共12页经典的数学分析是与经典力学的成就密切相关的，主要用来描述和分析物质作有限自由度连续运动的各种特性。在此，主要研究一元函数或多元函数的性态，诸如单调性、连续性、可微性和可积性等，对连续函数建立了各种微积分运算。数学的抽象把三维立体空间中向量的概念，推广到任意有限维线性空间；同时把力学中简单的坐标变换，推广到一般的线性变换，并且由此引出矩阵对线性变换的表示，以及矩阵的运算等，这些都是线性代数的研究内容。泛函分析的研究对象第三页，共12页常微分方程理论讨论集中参数对象连续运动过程的数学描述，以及运动轨线即微分方程解的存在性与唯一性问题，而且讨论连续运动过程的稳定性问题，并给出自由运动或受迫运动中运动轨线的求解方法。这种运动也只具有限多自由度，因为我们只考虑特定的系统，以及单个特定函数作用于系统所产生的行为。在电学理论和经典调节原理中，一种广泛适用的频域分析方法要求把函数的定义域由实数扩展到复数，而复变函数论则是专门讨论复变函数性态的数学分支，它给包括Fourier变换和Laplace变换在内的各种频域分析方法，提供了坚实的理论基础。同样，电学理论和经典调节原理的对象，一般也只具有限多自由度。泛函分析的研究对象第四页，共12页连续介质力学、电磁场理论等的研究对象，一般是分布参数系统，需要用偏微分方程来描述，而完全描述系统行为的一组无关量有无限多个，即系统具无限多自由度。现代控制理论和系统科学，已经由研究单个特定函数作用于系统时所产生的行为，扩展到研究一类函数作用于系统时可能产生的行为。这样的一类函数或称函数类、函数空间同样具无限多自由度。而定义于其上的泛函数或算子，则可用来描述系统的行为或其中的各种关系。泛函分析的研究对象第五页，共12页泛函分析的基本概念形成于19世纪末到20世纪初，而作为一门独立的数学分支则出现于上世纪30年代。经过上世纪40至50年代的发展，使其成为一门足够成熟的学科。它不断地渗透到各种应用领域，包括连续介质力学、电磁场理论、控制理论和系统科学等。在某种意义上说，泛函分析提供了一种知识框架，它把数学分析中有关函数性态分析的结论，线性代数中有关向量与向量空间、线性变换的概念，古典变分法中关于泛函变分的概念，微分方程中定性分析与求解的概念等，纳入统一的框架中；同时按泛函分析的理论体系，给出统一的分析和处理。泛函分析的研究内容第六页，共12页首先要把有限维向量空间的概念，推广到一般线性空间，包括由函数类形成的无限维线性空间，接着要讨论一类在元素间定义了距离的集合，称为“度量空间”。在度量空间中，才有可能定义点序列的收敛，并由此引出点集的某此拓扑概念，同时还讨论定义于其上的泛函数与算子的某些性质。一类特殊的度量空间称为“赋范线性空间”，它兼有线性空间的代数结构和赋范数的拓扑结构，是用以描述具无限多自由度运动过程的一般数学工具。而在赋范线性空间中，又有一类更接近有限维空间（欧氏空间）特性的无限维线性空间，称为“内积空间”，其上定义了内积，类似欧氏空间上向量间的标量积，从而可以引入向量间的夹角、向量直交等概念。对各种抽象空间的研究，是泛函分析的研究内容之一。泛函分析的研究内容第七页，共12页其次要把有限维空间上的线性变换推广到一般度量空间上的算子理论，特别是赋范线性空间上的线性算子理论。事实上，相当广泛的一类实际系统，都可以用某些抽象空间，以及存在于这些空间上的算子描述。算子理论，特别是线性算子理论，这是泛函分析的主要研究内容。算...
