中考压轴题精选典型例题讲解 第 1 页 共 15 页 二次函数-因动点产生的面积问题 例1、如图1，已知抛物线 212yxbxc（b、c 是常数，且c＜0）与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B的左侧），与y 轴的负半轴交于点C，点A 的坐标为(－1,0)． （1）b＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）； （2）连结BC，过点A 作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC 的面积为S． ①求S 的取值范围； ②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个． 图1 思路点拨 1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC． 2．当C、D、E 三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD． 3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方． 4．求得了 S 的取值范围，然后罗列 P 从 A 经过C 运动到 B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B 三个时刻的值． 满分解答 （1）b＝12c，点B 的横坐标为－2c． （2）由2111()(1 )(2 )222yxcxcxxc，设E1( ,(1 )(2 ))2xxxc． 过点E 作EH⊥x 轴于H． 由于OB＝2OC，当AE//BC 时，AH＝2EH． 所以1(1 )(2 )xxxc ．因此12xc ．所以(12 ,1)Ecc． 中考压轴题精选典型例题讲解 第 2 页 共 15 页 当C、D、E 三点在同一直线上时，EHCODHDO．所以1212ccc． 整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2 或12c （舍去）． 所以抛物线的解析式为 213222yxx． （3）①当P 在BC 下方时，过点P 作 x 轴的垂线交 BC 于 F． 直线BC 的解析式为122yx． 设213( ,2 )22P mmm，那么1( ,2 )2F mm ，2122FPmm ． 所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝221()24(2 )42BCFP xxFPmmm ． 因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4． 当P 在BC 上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5． 综上所述，0＜S＜5． ②若△PBC 的面积 S 为正整数，则这样的△PBC 共有 11 个． 考点伸展 点P 沿抛物线从 A 经过 C 到达 B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3...
