求二次函数解析式：综合题 例1 已知抛物线与x 轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式． 分析： 本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x 轴的交点，因此有更简捷的解法． 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x 轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有 ∴x1、x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 的两个根．因此，有 ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2) ∴抛物线的解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) (*) (其中 x1、x2是抛物线与x 轴交点的横坐标) 我们将(*)称为抛物线的两根式． 对于本例利用两根式来解则更为方便． 解： 抛物线与x 轴交于A(-1，0)、B(1，0) ∴设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x-1) 又 抛物线过 M(0，1)，将 x=0，y=1 代入上式，解得a=-1 ∴函数解析式为y=-x2＋1． 说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下： ①三项条件确定二次函数； ②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法； ③二次函数的解析式有三种形式： 究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定． 例2 由右边图象写出二次函数的解析式． 分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点． 解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)． 设解析式为y=a(x＋1)2+2 过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)2+2，即 y=-2x2-4x． 说明：已知顶点坐标可以设顶点式． 本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c， 过顶点(-1，2)和过原点(0，0)， 本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)·x 再将顶点坐标(1，2)代入求出 a． 例 3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且 a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值 2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当 x＞-2 时 y 随 x 增大而增大(x＜-2 时，y 随 x 增大而减小)，且图象过点(2，4)在 y 轴上截距为-2． 分析： (1)由 a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个 k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是 x=-2 解： (1)设y=ax2＋bx+c a∶b∶c=1∶2∶(-3) ∴设a=k，b=2k，c=-3k 有最小值-8 ∴解析式y=2x2+4x-6 (2) 图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B 两点均在x轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2． (3) ...
