1 二项式定理知识点及典例跟踪练习（含答案） [重点，难点解析] 1．熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律 二项式定理:, 叫二项式系数（0≤ r≤ n）.通项用Tr+1 表示，为展开式的第r+1 项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别. 2．掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式. ①对称性： ②增减性和最大值:先增后减.n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为；n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为. ③ [例题分析]: 一、与通项有关的一些问题 例1．在的展开式中，指出 1）第4 项的二项式系数 2）第4 项的系数 3）求常数项 解:展开式的通项为展开式中的第r+1 项. 1），二项式系数为； 2）由1）知项的系数为； 3）令6-3r=0, ∴ r=2, ∴ 常数项为. 例2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项. 分析:通项为, 2 前三项的系数为，且成等差，∴ 即 解得:n=8. 从而，要使 Tr+1 为有理项，则 r 能被 4 整除. 例 3．1）求的常数项；2）求(x 2+3x +2)5 的展开式中 x 的系数. 解: 1）通项， 令 6-2r=0, r=3,∴ 常数项为. 2）(x 2+3x +2)5=(x +1)5(x +2)5 ∴ 展开式中含 x 项由(x +1)5 中常数项乘(x +2)5 的一次项与(x +1)5 的一次项乘(x +2)5的常数项相加得到.即为，因而其系数为240. 例 4．(a+b+c)10 的展开式中，含 a5b3c2 的系数为_________. 分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10 的十个因式中选出 5 个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c 得到，从而 a5b3c2 的系数为. 例 5．(1+x )3+(1+x )4+(1+x )5+… … +(1+x)100 的展开式中 x 3 的系数为______. 分析: （法一）展开式中 x 3 项是由各二项展开式中含 x 3 项合并而形成.因而系数为 3 （法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式=, 要求x3 项只要求分子的x4 项，因而它的系数为. 二、有关二项式系数的问题. 例6．(2x+xlgx)8 的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____. 分析:二项式系数最大的为第5 项， 解得:x=1 或. 例7．的展开式中系数最大的项为第______项. 分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 设第r+1 项的系数最大， 则 解得:， ∴ r=7, 因而第8 项系数最大. 三、赋值法: 例8．已知 1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a0+a2+a4)2-(a1...
