第 1 页 共 1 5 页 探究正方形中的“十字架模型” 一、考题研究 在特殊的四边形问题中翻折的问题是比较常见的，不论是期中、期末和中考中都比较常见，能否采用合适的方法求出线段长，或者是利用面积之间关系求线段之间关系，这就是我们今天重点学习的一个模型“十字架模型” 二、知识回顾 1 、全等三角形的性质与判定 2 、相似三角形的性质与判定 3 、矩形和正方形的性质与判定 4 、图形的变换--轴对称 三、十字架模型 【十字架模型】--正方形 第一种情况：过顶点 在正方形ABCD 中，AE⊥BF，可得 AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA） 所以 AE=BF 第二种情况：不过顶点 在正方形ABCD 中，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 边上的点，其中：EG⊥FH，可得 EG=FH 第 2 页 共 1 5 页 也可以如下证明 在正方形ABCD 中，E，F，G，H 分别AB、BC、CD、DA 边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH 【导入】如图，将边长为4 的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，则折痕FG 的长度为______． 【分析】过点G 作GHAD于H ，根据翻折变换的性质可得GFAE，然后求出GFHD ，再利用“角角边”证明ADE和 GHF全等，根据全等三角形对应边相等可得GFAE，再利用勾股定理列式求出AE ，从而得解． 【解答】法一：解：如图，过点G 作GHAD于H ，则四边形ABGH 中，HGAB， 由翻折变换的性质得GFAE， 9 0AFGDAE ，9 0AEDDAE ， AFGAED ， 四边形ABCD 是正方形， ADAB， 第 3 页 共 15 页 HGAD， 在ADE和GHF中， GHFDAFGAEDGHAD ， ()ADEGHF AAS ， GFAE， 点E 是CD 的中点， 122DECD， 在Rt ADE中，由勾股定理得，2222422 5AEADDE， GF的长为2 5 ． 故答案为：2 5 ． 【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 法二：分析：连接AE，求解FG 相当于求AE。线段AE 是直角△ADE 的斜边，运用勾股定理求解即可 解：连接AE，由对称的性质可得：FG⊥AE 且FG 平分线段AE 由十字架模型可得：FG=AE=AD +AE22 =+=22422 5 【十字架模型】--矩形 在矩形ABC...
