拉格朗日插值公式的证明及其应用拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要 : 拉格朗日 (Lagrange) 插值公式是多项式中的重要公式之一 , 在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等 . 然后将线形插值，抛物插值， Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写. 插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中" 线性化 " ( 即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路 , 大巧若拙 . 本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理， 化学等领域的应用 . 通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高, 方法快捷 .关键词 ： 拉格朗日插值公式唯一性证明解题应用资产评估曲线插值问题， 直观地说， 认为已知的一批数3 据点nkkk fx0,是准确的，这些数据点所表现的准确函数关系xf是未知的， 在这种情况下要作一条近似曲线xP且点点通过这些点， 插值问题不仅要讨论这种近似曲线xP的构造方法， 还要讨论点增多时这种近似曲线xP是否稳定地收敛于未知函数xf，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一. 定义，推导及其在解题中的应用１. 线性插值１.１. 线性插值的定义假 定 已 知 区 间1,kk xx的 端点处的函数值kkxfy, 11kkxfy,要求线性插值多项式xL1使它满足kkyxL1, 111kkyxL．xLy1的几何意义 : 通过两点kk yx ,和11,kkyx的直线，如图１所示，xL1的表达式由几何意义直接给出，即kkkkkkxxxxyyyxL111(点斜式 )，图１11111kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL ( 两点式 ) ．由 两 点 式 方 程 看 出 ，xL1由 两 个 线 性 函 数11kkkkxxxxxl,kkkkxxxxxl11的线性组合得到, 其系数分别y=L 1 x( )y=f x( )yk+1ykxk+1xkoyx4 为ky 及1ky , 即xlyxlyxLkkkk111．显然 ,xlk及xl k 1也是插值多项式, 在节点kx 及1kx 上满足条件1kk xl，01kk xl，0kk xl，111kkxl．称函数 ,xl k（图２）及xl k 1（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数. 图象为：图2 图 3 １. ２. 线性插值例题例 1. 已知,352274.036.0sin,333487.034.0sin,314567.032.0sinlk+1 x( )xy1x k+1x kolk+1 x( )xy1xk+1xko5 用线性插值计算 . 解：由题意取000.320.3145...
