3.8 控制系统的稳定性3.8 控制系统的稳定性稳定性是控制系统最重要的特性之一。它表示了控制系统承受各种扰动，保持其预定工作状态的能力。 不稳定的系统是无用的系统， 只有稳定的系统才有可能获得实际应用。 我们前几节讨论的控制系统动态特性，稳态特性分析计算方法， 都是以系统稳定为前提的。3.8.1 稳定性的定义图 3.26（a）是一个单摆的例子。在静止状态下，小球处于A 位置。若用外力使小球偏离 A 而到达 A’，就产生了位置偏差。考察外力去除后小球的运动，我们会发现，小球从初始偏差位置A' ，经过若干次摆动后，最终回到A 点，恢复到静止状态。 图 3.26（b）是处于山顶的一个足球。 足球在静止状态下处于B 位置。如果我们用外力使足球偏离B 位置，根据常识我们都知道， 足球不可能再自动回到 B 位置。对于单摆，我们说A位置是小球的稳定位置，而对于足球来说，B 则是不稳定的位置。图 3.26 稳定位置和不稳定位置（a）稳定位置； (b) 不稳定位置处于某平衡工作点的控制系统在扰动作用下会偏离其平衡状态，产生初始偏差。稳定性是指扰动消失后， 控制系统由初始偏差回复到原平衡状态的性能。若能恢复到原平衡状态， 我们说系统是稳定的。 若偏离平衡状态的偏差越来越大，系统就是不稳定的。在控制理论中，普遍采用了李雅普诺夫（Liapunov ）提出的稳定性定义，内容如下：设描述系统的状态方程为(3.131) 式中 x(t) 为 n 维状态向量， f(x(t),t)是 n 维向量，它是各状态变量和时间t 的函数。如果系统的某一状态, 对所有时间 t ，都满足(3.132) 则称为系统的平衡状态。是 n 维向量。当扰动使系统的平衡状态受到破坏时，系统就会偏离平衡状态，在时，产生初始状态=x。在时，如果对于任一实数，都存在另一实数，使得下列不等式成立(3.133) (3.134) 则称系统的平衡状态为稳定的。式中称为欧几里德范数，定义为：(3.135) 矢量的范数是 n 维空间长度概念的一般表示方法。这个定义说明， 在系统状态偏离平衡状态， 产生初始状态以后，即以后，系统的状态将会随时间变化。对于给定的无论多么小的的球域 S( ) ，总存在另一个的球域，只要初始状态不超出球域，则系统的状态的运动轨迹在后始终在球域 S( ) 内，系统称为稳定系统。当 t 无限增长，如果满足：(3.136) 即系统状态最终回到了原来的平衡状态，我们称这样的系统是渐近稳定的。对于任意给定的正数，如果不存在另一个正数，即在球...
