专题六 数列 微切口 22 数列中的整数解问题 已知等差数列{an}的前 n 项和是 Sn，S3＝9，S6＝36. (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】 设等差数列{an}的公差是 d， 由 S3＝9，S6＝36，得 3a1＋3d＝9，6a1＋15d＝36， 解得 a1＝1，d＝2， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，即等差数列{an}的通项公式为 an＝2n－1. 【思维引导】 (2) 是否存在正整数 m，k，使得 am，am＋5，ak 成等比数列？若存在，求出 m 和 k的值；若不存在，请说明理由． •【解答】 am ， am ＋ 5 ， ak 成等比数列等价于 (2m － 1)(2k － 1) ＝ (2m ＋ 9)2 ，即2k－1＝2m＋922m－1 ＝2m－1＋1022m－1＝2m－1＋20＋ 1002m－1， 所以 k＝m＋10＋502m－1，m，k 是正整数． 由于 m ， k 是正整数，故 2m － 1 只可能取 1,5,25.当 2m － 1 ＝ 1 ，即 m ＝ 1 时， k ＝ 61 ；当 2m － 1 ＝ 5 ，即 m ＝ 3 时， k ＝ 23 ；当 2m － 1 ＝ 25 ，即 m ＝ 13 时， k ＝ 25.所以存在正整数 m ， k ，使得 am ， am ＋ 5 ， ak 成等比数列， m 和 k 的值分别是 m＝ 1 ， k ＝ 61 或 m ＝ 3 ， k ＝ 23 或 m ＝ 13 ， k ＝ 25. 已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且满足 a2n＝S2n－1，令 bn＝1an·an＋1，数列{bn}的前 n 项和为 Tn. (1) 求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前 n 项和 Tn； 【思维引导】 【解答】 因为{an}是等差数列，由 a2n＝S2n－1＝a1＋a2n－12n－12＝(2n－1)an， 又因为 an≠0，所以 an＝2n－1. 由 bn＝1anan＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1 ， 所以 Tn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1 ＝n2n＋1. (2) 是否存在正整数 m，n(10， 从而 1－ 62 1，所以 m＝2，此时...
