第六章 多项式插值理论 一 、 区 间 [a , b]上 的 一 般 插 值 理 论 (从 有 限 维 子 空 间 出 发 的 逼 近 方 法 ) ① 对 无 限 维 函 数 空 间 的 一 个 元 素 f (x) 进 行 逼 近 ， 关 于 f (x) 的 情 况 仅 知 道 一 部 分 (1、 若 干 点 的 函 数 值 或 导 数 值 已 知 ； 2、 满 足 一 些 控 制 方 程 ) ② 选 择 一 个 由 固 定 基 函 数 张 成 的 有 限 维 函 数 子 空 间 基 函 数 性 质 : 、 线 性 无 关、 完 备 的条 件、 满 足 基 本 的 函 数 已 知321 ③ 选 择nX 中 的 元 素)()(~xPxfn或， 在 一 定 的 约 束 条 件 下 ， 使)(~ xf良 好 的 逼 近 xf, 即 令)(~ xf= nnccc2211关 于 xf在 插 值 区 间 上 有 不 大 的 误 差 （ 包 括一 定 的 光 滑 性 逼 近 ）。 ④ 良 好 逼 近 的 判 断 ff~ e.g. Tchebycheff 范 数 ， || f || = |)(|maxxfbxa 称 为 一 致 逼 近 。 ⑤ 约 束 条 件 : （ 依 据 对 xf的 了 解 来 确 定 ） i/ 插 值 约 束 )()(~iixfxf 1ni ix (a, b) 且ix 互 不 相 同 ； ii/ 插 值 与 光 滑 性 混 合 约 束 (1)、 )()(~iixfxf 1ki ix (a , b) 且ix 互 不 相 同 (2)、 )()(~iixfxf 1ki ix (a,b) 且 互 不 相 同 (3)、 )(~ xf的 二 阶 导 数 存 在 iii/ 变 分 约 束 （ 以 下 两 种 约 束 不 再 具 有 严 格 的 插 值 含 义， 这里可能仅 知 道 被插 函 数满 足 某些 控 制 方 程 ） 依 据 || f - f~||在nX 中 为 最小的 条 件 ， 即 确 定 常数nccc21, 使 f~的 解 由 下 列形式的 极小化问题得到： || f -0f~|| = min{|| f- f~||：f~nX} Note：这里的 ||·|| 不 局限 于 切比雪夫范 数 和2－范 数 ， 可能是某种 内积定 义的 范 数 ；这也是固 体 力 学 求 近 似 解 的 基 本 方 法 （ 如 ， 有 限 元 就 是能量 的 变 分 ）。 iv/ 正 交 约 束 根 据 f- f~与 n 个 给 定 基 函...
