常微分方程数值解VIP专享VIP免费

第八章 常微分方程数值解 姓名 学号 班级 习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。 1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程 ]1,0[1)0(2xyyxyy 的数值解（取步长2.0h），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用） 解：原方程可转化为 xyyy22 ，令22yz ，有xzdxdz22 解此一阶线性微分方程，可得 12 xy。 利用以下公式 )4,3,2,1,0()(21)2(2.0)2(2.01iyyyyxyyyyxyyycpipipiciiiip 求在节点)5,4,3,2,1(2.0iixi处的数值解iy ，其中，初值为1,000yx。 MATLAB 程序如下： x(1)=0;%初值节点 y(1)=1;%初值 fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\n',1,x(1),1,y(1),1,y(1)); for i=1:5 yp=y(i)+0.2*(y(i)-2*x(i)/y(i));%预报值 yc=y(i)+0.2*(yp-2*x(i)/yp);%校正值 y(i+1)=(yp+yc)/2;%改进值 x(i+1)=x(i)+0.2;%节点值 yy(i+1)=sqrt(2*x(i+1)+1);%精确解 fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\n',i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1)); end 程序运行的结果如下： x(1)=0.000000, y(1)=1.000000, yy(1)=1.000000 x(2)=0.200000, y(2)=1.220000, yy(2)=1.183216 x(3)=0.400000, y(3)=1.420452, yy(3)=1.341641 x(4)=0.600000, y(4)=1.615113, yy(4)=1.483240 x(5)=0.800000, y(5)=1.814224, yy(5)=1.612452 x(6)=1.000000, y(6)=2.027550, yy(6)=1.732051 2用四阶龙格－库塔法求解初值问题0)0(1yyy，取2.0h, 求4.0,2.0x时的数值解. 要求写出由nn yxh,,直接计算1ny的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格－库塔方法的应用） 解：四阶龙格-库塔经典公式为 11234(22)6nnhyykkkk  1(,)nnkf x y 2111(,)22nnkf xh yhk 3211(,)22nnkf xh yhk 43(,)nnkf xh yhk 由于yyxf 1),(，在各点的斜率预报值分别为： nyk 11 )21)(1()1(21)2(112hyyhykhyknnnn )]21(21)[1()21)(1(21)2(123hhyhyhykhyknnnn ))]21(21(1)[1()]21(21)[1(1)(134hhhyhhyhyhkyknnnn 四阶经典公式可改写成以下直接的形式： )436)(1(6321hhhyhyynnn 在2.01  xx处，有 1813.0)4)2.0()2.0(2....