常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题（30%） 1、方程( , )( , )0M x y dxN x y dy有只含 x 的积分因子的充要条件是（ ）。有只含 y的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若12( ),( ),,( )nX tXtXt 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６ 、 若 ( )t和( )t都 是'( )xA t x的 基 解矩阵 ， 则 ( )t和( )t具 有 的关 系是_____________________________。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、3()0ydxxy dy ２、sincos2xxtt ３、若2114A 试求方程组 xAx 的解12( ), (0)t 并求 expAt ４、32()480dydyxyydxdx ５、求方程2dyxydx 经过（0，0）的第三次近似解 6.求1,5dxdyxyxydtdt 的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（１０％） １、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 １、( )MNyxxN ( )MNyxyM ２、 2( )( )( )dyp x yQ x yR xdx yyz ３、 ( )( )ndyp x yQ x ydx (1) ( )( , )np x dxnu x yye ４、12[( ),( ),,( )]0nw x tx tx t ５、11110nnnnnnnd yddyxaaa ydxdxdx ６、( )( )tt C ７、零 稳定中心 二计算题 １ 、 解 ： 因 为1,1MNyx ， 所 以 此 方 程 不 是 恰 当 方 程 ， 方 程 有 积 分 因 子22ln21( )dyyyyeey，两边同乘21y 得320dxxy dyyy 所以解为 321xxyydxdy cyyy 22xycy即22()xy yc另外 y=0 也是解 ２、线性方程0xx 的特征方程210 故特征根i 1( )sinf tt i 是特征单根，原方程有特解( cossin )x t AtBt代入原方程A=-12 B=0 2( )cos2ftt ...
