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数列极限类 1 . 证明: 112111lim222nnnnn. 证 因为 11211122222nnnnnnnnn 又11limlim22nnnnnnn,由迫敛原理得 112111lim222nnnnn. 2 . 设,2,121,1111naaaaaannn,证明 na有极限,并求此极限的值. 证 由均值不等式得 aaaaaaaannnnn2212111,即 na有下界. 又0212121nnnnnnnnnaaaaaaaaaa,即 na单调减,于是Aannlim存在,且由极限的保号性可得1A.对已知递推公式,令n和极限的唯一性得 AaAA21, 解得aA (负根舍去),即有aannlim. 单调性的证明也可如下完成: 11211212221  nnnnnaaaaaa,或nnnnnaaaaa2121. 3 . 设,2,16,1011nxxxnn,试证数列 nx存在极限,并求此极限. 证 由4166,10121xxx知, 21xx . 假 设1kkxx, 则21166kkkkxxxx,由归纳法知 nx为单调下降数列.又显然有0nx,所以 nx有下界.由单调有界原理知,数列 nx收敛.所以可令axnnlim,对nnxx61两边取极限得0662aaaa,解得3a或2a(舍去),故3limnnx. 4 . 设N,当Nn 时,有nnbAa且0limnnnab.求证极限nnalim与nnblim存在且等于A . 证 由nnbAa得nnnabaA0,由迫敛原理得Aannlim,再由 0limnnnab及Aannlim可得nnblim存在且等于A . 5 . 设nnnnnnyxyyxxbyax21,,0,01111.求证: (1)  nx与 ny均有极限; (2) nnnnyx limlim. 证 因为1121nnnnnnyyxyxx,所以 nnnnnnyyyyxy21211,即 ny单调减少有下界,而nnnnnnnxxxyxxyy111,即 nx单调增加有上界.所以 nx与 ny都收敛. 在121nnnyyx两边取极限得nnnnyx limlim. 6 . 设0na,且1lim1qaannn,求证 na收敛且0limnna. 证 因为1lim1qaannn,对给定的00,021Nq...