数学培优竞赛新方法(九年级)第21讲辅助圆VIP免费

1 第 21讲 辅助圆 知识纵横 在处理平面几何中许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决。而我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有： 1、利用圆的定义添补辅助线； 2、作三角形的外接圆； 3、运用四点共圆的判定方法： （1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。 （2）同底同侧张等角的三角形，个顶点共圆。 （3）若四边形 ABCD 的对角线相交于 P，且PDPBPCPA，则它的四个顶点共圆。 （4）若四边形 ABCD 的一组对边 AB、CD的延长线相交于 P，且PDPCPBPA,则它的四个顶点共圆。 例题求解 【 例1】 如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， AB=AC=AD,E是CB的 中 点 ， AE=EC。,6626,3BDDBCBAC则 AB= 。 （鄂州市中考题） 思路点拨 ADACAB,,有共同端点且相等，可用圆的定义画出图中隐藏的圆，从而可推导BAC、DBC为特殊角。 【例 2】如图，若 PA=PB，ACACBAPB,2 与PB 交于点 D ，且,3,4PDPB则 DCAD( ). A.6 B.7 C.12 D.16 （“TI”杯全国初中数学竞赛题） 思路点拨 作出以 P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件。 【例 3】如图，在 ABC中，ACAB ，任意延长 AC 到 P ，再延长 AB 到Q ，使BQAP ， 2 求证：ABC的外心O 与A 、 P 、Q 四点共圆。 思路点拨 先作出 ABC的外心O ，连接 PQ、OQ ，将问题转化为证明角相等。 【例 4】如图，,,BCCDBCAB垂足分别为 B、C。 （1）4AB1DC，4BC时，在线段 BC 上是否存在点 P ,使PDAP ？若存在，求线段 BP 的长；若不存在，请说明理由； （2）设aAB ,bDC ,cAD ，那么当a 、b 、c 之间满足什么关系时，在直线 BC 上存在点 P ，使PDAP ? （南京市中考题） 思路点拨 对于（2），点 P在以 AD为直径的O上，又点 P在 BC上，表明O与BC相交或相切。 旋转与圆 【例 5】如图，已知正方形OABC 在直角坐标系 xoy 中，点 A 、C 分别在 x轴、 y 轴的正 3 半轴上，点O 在坐标原点。等腰直角三角板OEF 的直角顶点O 在原点，E 、F 分别在OA 、OC 上，且4OA，2OE。将三角板OEF 绕 O点逆时针旋转至11 FOE的位置，连接1CF 、...