数学归纳原理和最小数原理的等价性证明 这两个原理都是自然数公理系统中最基本的原理，人们常常用最小数原理证明数学归纳原理。我发现用数学归纳原理也可以证最小数原理。所谓的最小数原理是指：自然数集合的任意非空子集必有最小元素。 一：用数学归纳原理证最小数原理。 当自然数的非空子集只含一个元素时，这个元素就是最小元素。设 n元集有最小元素，对于 n+1 元集，新加入的元素与 n 元集中的最小数比较，若新加入的元素不大于该最小数，则新加入的元素为最小数，否则，原来的n 元集中的最小数仍是n+1 元集的最小数。由数学归纳原理，含任意个自然数数目的自然数子集都有最小数。得证。 二：用最小数原理证数学归纳原理：p(o)成立，且 p(n)成立可导出 p(n+1)成立，则对于一切自然数n,p(n)成立。否则，若对于若干个（可能有限个，也可能无限个）自然数m1,……mi……(i≥1 ）使命题不成立，由最小数原理，这若干个自然数有最小数记为 w ，而且，w 一定是正数，那么，就一定存在唯一的自然数b,b+1=w.b 不属于这个使命题不成立的元素组成的集合，因为 b 比最小数还小。则 p(b)是成立的，由规则，p(b+1)也成立即 p(w )成立。矛盾。故对于一切自然数n,p(n)成立。证毕。 其实以上发现也没啥大不了的，很直观浅显。这两个原理的等价性得证后，两者中的任意一条都可以作为皮亚杰五条公理中的一条吗？不行！因为最小数原理中的小于最开始还是没有定义的！。 还有，该等价关系非我第一次发现，由于其十分简单，在我发现等价性后，我在华罗庚的《数学归纳法》最后找到了同样的结论。 归纳原理和数学归纳法 1．数学归纳法的理论依据 归纳法和演绎法都是重要的数学方法．归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法；不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现思维，不适用数学严格证明． 数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是下列佩亚诺公理Ⅰ—Ⅴ中的归纳公理： Ⅰ．存在一个自然数0∈N； Ⅱ．每个自然数a 有一个后继元素 a′，如果 a′是a 的后继元素，则 a 叫做 a′的生成元素； Ⅲ．自然数0 无生成元素； Ⅳ．如果 a′=b′，则 a=b； Ⅴ．(归纳公理)自然数集 N 的每个子集合 M，如果 M 含有 0，并且含有 M 内每个元素的后继元素，则 M＝N 自然数就是满足上述佩亚诺公理的集合 N 中的元素．关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论．由佩亚诺公理可知，0...
