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数学归纳原理和最小数原理的等价性证明VIP免费

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数学归纳原理和最小数原理的等价性证明 这两个原理都是自然数公理系统中最基本的原理,人们常常用最小数原理证明数学归纳原理。我发现用数学归纳原理也可以证最小数原理。所谓的最小数原理是指:自然数集合的任意非空子集必有最小元素。 一:用数学归纳原理证最小数原理。 当自然数的非空子集只含一个元素时,这个元素就是最小元素。设 n元集有最小元素,对于 n+1 元集,新加入的元素与 n 元集中的最小数比较,若新加入的元素不大于该最小数,则新加入的元素为最小数,否则,原来的n 元集中的最小数仍是n+1 元集的最小数。由数学归纳原理,含任意个自然数数目的自然数子集都有最小数。得证。 二:用最小数原理证数学归纳原理:p(o)成立,且 p(n)成立可导出 p(n+1)成立,则对于一切自然数n,p(n)成立。否则,若对于若干个(可能有限个,也可能无限个)自然数m1,……mi……(i≥1 )使命题不成立,由最小数原理,这若干个自然数有最小数记为 w ,而且,w 一定是正数,那么,就一定存在唯一的自然数b,b+1=w.b 不属于这个使命题不成立的元素组成的集合,因为 b 比最小数还小。则 p(b)是成立的,由规则,p(b+1)也成立即 p(w )成立。矛盾。故对于一切自然数n,p(n)成立。证毕。 其实以上发现也没啥大不了的,很直观浅显。这两个原理的等价性得证后,两者中的任意一条都可以作为皮亚杰五条公理中的一条吗?不行!因为最小数原理中的小于最开始还是没有定义的!。 还有,该等价关系非我第一次发现,由于其十分简单,在我发现等价性后,我在华罗庚的《数学归纳法》最后找到了同样的结论。 归纳原理和数学归纳法 1.数学归纳法的理论依据 归纳法和演绎法都是重要的数学方法.归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法;不完全归纳法是非逻辑方法,只适用于数学发现思维,不适用数学严格证明. 数学归纳法既不是归纳法,也不是演绎法,是一种递归推理,其理论依据是下列佩亚诺公理Ⅰ—Ⅴ中的归纳公理: Ⅰ.存在一个自然数0∈N; Ⅱ.每个自然数a 有一个后继元素 a′,如果 a′是a 的后继元素,则 a 叫做 a′的生成元素; Ⅲ.自然数0 无生成元素; Ⅳ.如果 a′=b′,则 a=b; Ⅴ.(归纳公理)自然数集 N 的每个子集合 M,如果 M 含有 0,并且含有 M 内每个元素的后继元素,则 M=N 自然数就是满足上述佩亚诺公理的集合 N 中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由佩亚诺公理可知,0...

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数学归纳原理和最小数原理的等价性证明

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