果然教育 - 1 - 数学归纳法 一、基本知识概要： 1.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0 时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1 时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0 的正整数n0+1，n0+2，„，命题都成立. ●锦囊妙记 (1)数学归纳法的基本形式 设P(n)是关于自然数n 的命题，若 1°P(n0)成立(奠基) 2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则 P(n)对一切大于等于n0 的自然数n 都成立. 3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n 取第一个值n0 结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*，且 k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1 时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数n 都正确 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 . 1．用数学归纳法证题要注意下面几点： ①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程； ②成败的关键取决于第二步对 1 kn的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧. 2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验. 探究 1．数学归纳法的本质： 无穷的归纳→有限的演绎（递推关系） 2．数学归纳法公理： （1）（递推奠基）：当n 取第一个值n0 结论正确； （2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N *，且 k≥n0)时结论正确；（归纳假设） 证明当n=k+1 时结论也正确。（归纳证明） 由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数n 都正确。 说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求 f(k +1)与f(k )的递推关系，是解题的关键。 ②数学归纳法证明的基本形式； （1）（递推奠基）：当n 取第一个值n0 结论正确； （2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N *，且 k≥n0)时结论正确；（归纳假设） 证明当n=k+1 时结论也正确。（归纳证明） 果然教育 - 2 - 由(1)，(2)可知，命题对于从n0 开始的所有正...
