1 §3 LU 分解法—— Gauss 消去法的变形知识预备：1 矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积 2矩阵的乘法 3上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积 4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆一、 Gauss消去法的矩阵解释Gauss 消去法实质上是将矩阵A 分解为两个三角矩阵相乘。我们知道，矩阵的初等行变换 实质就是 左乘初等矩阵。第一轮消元： 相当于对 A（1）左乘矩阵 L1，即)2()1(1AAL其中)1(11)1(11)2()2(2)2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)2(131211,,1001011aalaaaaaaaAlllLiinnnnnn第二轮消元： 对应于)3()2(2AAL一般地1,,2,1)1()(nkAALkkk⋯⋯⋯⋯⋯（ 1）2 其中nkkiaalllLkkkkikiknkkkk,,2,1,,10111)()(1整个 消元过程 为UAALLLLnnn记)(1221nnnnuuuuuu22211211⋯⋯⋯（ 2）从而ULULLLLULLLLAnnnn1112121111221)(其中 L 是单位下三角矩阵，即,1,,1,,3,2,,1111)()(21323121njnillllllLjjjjijaaijnn⋯（ 3）【注】 消元过程等价于A 分解成 LU 的过程回代过程是解上三角方程组的过程。二、矩阵的三角分解1、若将 A 分解成 L? U，即 A=L? U，其中 L 为单位下三角矩阵,U 为非奇异上三角矩阵, 则称之为对A 的 Doolittle分解。当 A 的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而A 存在 唯一的Doolittle分解。证明： 若有两种分解，A=L 1U 1，A=L 2U 2，则必有 L1=L 2，U 1=U 2 。3 因为 L 1U1 =L 2U 2，而且 L1， L2 都是单位下三角矩阵，U 1,U 2 都是可逆上三角矩阵 ,所以有112112UULL因此)(112112单位矩阵IUULL即L1=L 2，U 1=U 2、2、若 L 是非奇异下三角矩阵，U是单位上三角矩阵时，A 存在唯一的三角分解， A=LU，称其为 A的 Crout 分解（对应于用列变换实施消元）三、直接分解（ LU 分解）算法LU 分解算法公式——按矩阵乘法nnnnnnuuuuuulllllA22211211213231211111第一步： 利用 A中第一行、第一列元素确定U的第一行、 L 的第一列元素。由),,2,1()0,,0,,,()0,,0,0,1(1211njuuuuajTijjjj),,3,2()0,,0,()0,,1,,,(111111211niululllaiTiiiii得 u1j =a1j nj,,2,1() li1 =ai1 /u 11ni,,3,2() 第 r 步: 利用 A中第 r 行、第 r 列剩下的元素确定U的第 r 行、 L 的第 r 列元素（ r=2 ，3，⋯， n）. 由4 ),,1,()0,,0,,,()0,,0,1,,,(1121121nrrjuuluuulllarjkjrkrkTjjjjrrrrrj得 U的第 r 行元素为11,,1,,rkkjrkrjrjnrrjulau由),,2,1...
