数值计算方法期末模拟试题二模拟试题二一、填空（共 20 分，每题 2 分）1、设，取 5 位有效数字，则所得的近似值x=_____. 2、设一阶差商，则二阶差商3、数值微分中，已知等距节点的函数值则由三点的求导公式，有4、求方程的近似根， 用迭代公式，取初始值，那么5、解初始值问题近似解的梯形公式是窗体顶端6、，则 A 的谱半径＝， A 的＝7、设，则＝和＝8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 _____ 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____ 10、设，当时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素足条件时，这种分解是唯一的. 二、计算题（共60 分，每题15 分）1、 设（1）试求在上的三次 Hermite 插值多项式 H（x）使满足H（ x）以升幂形式给出.（2）写出余项的表达式2、已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1⋯收敛？3、试确定常数A ，B，C 和 ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度.试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：三、证明题1、设（1）写出解的 Newton 迭代格式（ 2）证明此迭代格式是线性收敛的2、设 R=I－ CA，如果，证明：（1）A、C 都是非奇异的矩阵（2）参考答案：一、填空题1、2.3150 2、3、4、1.5 5、6、7、8、 收敛9、O（h）10、二、计算题1、1、（1）（2）2、由，可得因故故，k=0,1, ⋯收敛 . 3、，该数值求积公式具有5 次代数精确度，它是Gauss型的4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，得，记步长为h,对积分用 Simpson 求积公式得所以得数值解公式：三、证明题1、证明：（1）因，故，由 Newton 迭代公式：n=0,1, ⋯ 得，n=0,1, ⋯ （2）因迭代函数，而，又，则故此迭代格式是线性收敛的. 2、证明：（1）因，所以 I– R 非奇异，因I– R=CA ，所以 C，A 都是非奇异矩阵（2）(2)故则有（ 2.1）因 CA=I – R，所以 C=（ I– R）A-1 ，即 A-1= （I– R）-1C 又 RA-1=A-1 – C，故由（这里用到了教材98 页引理的结论）移项得(2.2) 结合（ 2.1）、(2.2)两式，得
