专题：数列中恒成立问题的研究一、问题提出问题 1：已知等差数列{}na的首项为 1，公差为 2 ，若12233445a aa aa aa a2221nna at n 对*nN 恒成立，则实数t 的取值范围是 __________. (,12]12233445221nna aa aa aa aa a21343522121()()()nnnaaaaaaaaa2424()naaaL2224842naannn ， 所 以2284nntn， 所 以48tn对*nN 恒成立，12t问题 2：二、思考探究探究 1：设首项不为零的等差数列na的前 n 项和为nS ，若不等式21222manSann对任意正整数n 都成立，则实数 m的最大值为 ______. 15解析： a1＝0 时，不等式恒成立，当a1≠0 时， λ ≤a2na21 ＋ S2nn2a21 ，将 an＝a1＋( n－1) d，Sn＝na1＋nn－1d2代入上式，并化简得：λ ≤54n－1da1＋652＋15∴λ ≤15，∴λmax＝15.探究 2：已知常数λ ≥0，设各项均为正数的数列{ an} 的前 n 项和为 Sn，满足： a1 = 1 ，11131nnnnnnaSSaa（*nN）．（1）若 λ = 0 ，求数列 { an} 的通项公式；（2）若112nnaa 对一切*nN恒成立，求实数λ 的取值范围．解：（1） λ = 0 时，111nnnnnaSSaa．∴1nnnnaSSa．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 0na，∴0nS．∴1nnaa ． 11a，∴1na． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2） 11131nnnnnnaSSaa，0na，∴1131nnnnnSSaa．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分则212131SSaa，2323231SSaa，⋯，11131nnnnnSSaa（n≥ 2）．相加，得2113331nnnSnaL．则332nnnSna （n≥2）．上式对 n = 1也成立，∴332nnnSna （*nN）．③⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分∴1113312nnnSna（*nN）．④④③，得1113333122nnnnnanana ．即11333322nnnnnana ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分 λ ≥0，∴332nn > 0 ，1332nn > 0 ． 112nnaa 对一切*nN恒成立，∴133133222nnnn 对一切*nN恒成立．即233nn对一切*nN恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分记233nnnb，则11142 3622233333333nnnnnnnnnnbb．当 n = 1时，10nnbb；当 n≥2 时，10nnbb；∴1213bb是一切nb 中的最大项．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分综上所述， λ的取值范围是13．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分探究 3：：数列 {}na满足：2321212nnaaaannL(0,)nN常数（1）求数列 {}na的通项公式；（ 2）当4时，是否存在互不相同的正整数, ,r s t ，使得,,rsta aa 成等比数列若存在，给出, ,r s t 满足的条件；若不存在，说明理由；（3）设nS 为数列 {}na的前 n 项和．若对任意nN，都有nnnaS2)1(恒成立，求实数的取...
