数列求和的常用方法周潭中学 — 周根虎数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)]1(21[nnkSnkn例 1（07 高考山东文18 ）设 {}na是公比大于1 的等比数列，nS 为数列 {}na的前 n 项和．已知37S，且1233 34aaa， ，构成等差数列．（1 ）求数列 {}na的等差数列．（2 ）令31ln1 2nnbanL，，， ，求数列 {}nb的前 n 项和 T ．解：（ 1）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，解得22a．设数列 {}na的公比为 q ，由22a，可得1322aaqq，．又37S，可知 2227qq，即22520qq，解得12122qq，．由题意得12qq，．11a．故数列 {}na的通项为12nna．（2 ）由于31ln1 2nnbanL，，， ，由（ 1）得3312nna3ln 23 ln 2nnbn，又13ln 2nnnbb{}nb是等差数列．12nnTbbbL1()2(3ln 23ln 2)23 (1)ln 2.2nn bbnn n2)1(nn)1(2)1(ann故3 (1) ln 22nn nT．练习：设 Sn＝1+2+3+⋯+n ，n∈N *,求1)32()(nnSnSnf的最大值 . 解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(21nnSn（利用常用公式）∴1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501∴ 当88n，即 n＝8 时，501)(maxnf二、错位相减法设数列na的等比数列，数列nb是等差数列，则数列nnba的前 n 项和nS 求解，均可用错位相减法。例 1：求数列 a,2a2,3a3,4a4,⋯,nan, ⋯(a 为常数 )的前 n 项和。解：若 a=0, 则 Sn=0 若 a=1, 则 Sn=1+2+3+ ⋯+n= 若 a≠0 且 a≠1 则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+⋯+ nan∴aSn= a2+2 a3+3 a4+⋯+nan+1∴(1-a) S n=a+ a2+ a3+⋯ +an- nan+1= ∴Sn= 当 a=0 时，此式也成立。∴Sn= 说明：数列nna是由数列n 与na对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等111nnnaaaa)1(1)1(121aanaaaann)1(1)1(121aanaaaann比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况。例 2（07 高考天津理21 ）在数列na中，1112(2)2 ()nnnnaaanN，，其中0 ．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）求...
