数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n 项和： 123 ⋯⋯ +n=(1)2n n，1+3+5+⋯⋯ +(2n-1)=2n2222123⋯⋯ +n =(1)(21)6n nn，3333123⋯⋯ +n =2(1)2n n等. 例 1 求2222222212345699100L．解：原式22222222(21 )(43 )(65 )(10099 )3711199LL．由等差数列求和公式，得原式50 (3 199)50502．变式练习 ：已知3log1log23 x，求............32nxxxx的前 n 项和. 解 ：1－n21二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导， 目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例 2 求222222222222123101102938101L的和．解：设222222222222123101102938101SL则222222222222109811012938101SL．两式相加，得21 11105SSL，．三、裂项相消法常见的拆项公式有：1()n nk1 11()knnk，1nkn1 ()nknk，1(21)(21)nn111()2 2121nn，等 . 例 3 已知222112(1)(21)6nn nnL，求22222222235721()11212312nnnNLL的和．解：22221216112(1)(1)(21)6nnnann nn nnQL，11161 223(1)1111161223116 11ln.1nSn nnnnnLL小结： 如果数列{}na的通项公式很容易表示成另一个数列{}nb的相邻两项的差，即1nnnabb ，则有11nnSbb .这种方法就称为裂项相消求和法. 变式练习： 求数列311，421，531，⋯，)2(1nn，⋯的前 n 项和 S. 解 ： )2(1nn=211(21nn）Sn=)211()4121()311(21nn=)2111211(21nn=42122143nn四、错位相减法源于等比数列前 n 项和公式的推导， 对于形如 {}nna b的数列，其中 {}na为等差数列， {}nb为等比数列，均可用此法. 例 4 求2335(21)nxxxnxL的和．解：当1x时，21122(1)(21)1(1)1nnnxxxnxSxxx；当1x时，2nSn ．小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}nb的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和 . )1(2)1(ann变式练习： 求数列 a,2a2,3a3,4a4,⋯,nan, ⋯(a 为常数 )的前 n 项和。解：（1）若 a=0, 则 Sn=0 （2）若 a=1,则 Sn=1+2+3+⋯+n=(1)2nn（3）若 a≠0 且 a≠1 则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+⋯+ nan ， ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+⋯+nan+1∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+⋯+an- nan+1= ∴Sn= 当 a=0 时，此式也成立。∴Sn = 五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 例 5 求数列11111246248162nnL， ，， ，，L 的前 n 项和nS ．23411111111(2462...
