数列的综合问题VIP专享VIP免费

10—数列的综合问题突破点 (一 )数列求和1．公式法与分组转化法：(1)公式法； (2)分组转化法； 2．倒序相加法与并项求和法：(1)倒序相加法；(2)并项求和法： 在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋⋯＋ 22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋⋯＋(2 2－12)＝ (100＋99)＋ (98＋ 97)＋⋯＋ (2＋1)＝5 050. 3．裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧： ①1n n＋1＝1n－1n＋1.②1n n＋2＝121n－1n＋2 .③12n－12n＋1 ＝1212n－ 1－12n＋ 1 .④1n＋n＋1＝n＋1－n. 4．错位相减法分组转化法求和[例 1]已知数列 {an}，{bn}满足 a1＝5，an＝2an－1＋3n － 1(n≥2，n∈ N* )，bn＝an－ 3n(n∈N *)．(1)求数列 {bn}的通项公式； (2)求数列 {an}的前 n 项和 Sn. [解 ](1) an＝2an－1＋3n－ 1(n∈ N*，n≥2)，∴an－3n＝2(an－1－3n－1)，∴bn＝2bn－ 1(n∈N*，n≥2)． b1＝a1－3＝2≠ 0，∴bn≠0(n≥2)，∴bnbn－ 1＝2，∴{bn}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列．∴bn＝2·2n－ 1＝2n. (2)由(1) 知 an＝bn＋3n＝2n＋3n，∴Sn＝(2＋22＋⋯＋2n)＋(3＋32＋⋯＋3n)＝2n＋1＋3n＋12 － 72. [方法技巧 ]分组转化法求和的常见类型(1)若 an＝bn±cn，且 {bn}， {cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an} 的前 n 项和．(2)通项公式为an＝bn， n为奇数，cn， n为偶数的数列，其中数列{bn}，{ cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．错位相减法求和[例 2](2016·山东高考 )已知数列 {an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋ 8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋ bn＋1. (1)求数列 {bn}的通项公式； (2)令 cn＝an＋1n ＋1bn＋ 2n ，求数列 {cn}的前 n 项和 T n. [解 ](1)由题意知，当n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝6n＋ 5，当 n＝1 时， a1＝S1＝11，满足上式，所以 an＝6n＋5.设数列 { bn}的公差为 d.由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，即11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，所以 bn＝3n＋1. (2)由(1) 知 cn＝6n＋6n＋13n＋3n ＝3(n＋1) ·2n＋1，又 Tn＝c1＋c2＋⋯＋cn，得 T n＝ 3×[2 ×22＋ 3×23＋⋯＋(n＋1) ×2n＋1]，2T n＝3×[2 ×23＋3×24＋⋯＋(n＋1) ×2n＋ 2]，两式作差...